Режимы фильтрации

Қысқаша негізгісі

Режим определяют по скорости изменения давления: при установившемся $\partial p/\partial t = 0$ во всех точках, при псевдоустановившемся она одинакова во всех точках, при неустановившемся зависит и от времени, и от расстояния до скважины.
Без сжимаемости не было бы переходных процессов: снижение давления на забое мгновенно передавалось бы до границы. Сжимаемость делает пласт «ёмкостью», которая отдаёт флюид постепенно, начиная с зоны у скважины.
Скорость распространения возмущения задаёт пьезопроводность $\eta = k/(\phi\mu c_t)$ : за время $t$ оно заметно охватывает область радиусом порядка $\sqrt{4\eta t}$ .
После пуска скважины режим всегда сначала неустановившийся. Когда возмущение доходит до границ, он становится псевдоустановившимся, если граница непроницаема, или установившимся, если через неё поступает столько же флюида, сколько отбирается.
В высокопроницаемых пластах неустановившийся период длится часы и сутки, в плотных — месяцы и годы. Скважины в плотных пластах поэтому долго работают с падающим дебитом, и формулы псевдоустановившегося притока к ним применяют с осторожностью.

Негізгі қатынастар

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right) = \frac{\phi\mu c_t}{k}\,\frac{\partial p}{\partial t}

уравнение пьезопроводности для радиального потока

c_t = S_o c_o + S_w c_w + S_g c_g + c_f

общая сжимаемость пород и флюидов

t_b \approx \dfrac{\phi\mu c_t\,r_e^2}{4k}

время, за которое возмущение доходит до границы на расстоянии $r_e$ (СИ)

\dfrac{\dd \bar p}{\dd t} = -\dfrac{qB}{c_t V_p}

темп снижения давления в замкнутой области

Жиі қателіктер

Путать режимы фильтрации — зависимость давления от времени — с режимами работы залежи: водонапорным, газонапорным и другими.
Применять формулу псевдоустановившегося притока к замерам, сделанным до выхода на этот режим: отношение дебита к депрессии в это время выше, и «проницаемость», рассчитанная по нему, будет завышена.
Забывать сжимаемость пор: в недонасыщенном пласте она часто составляет треть общей сжимаемости и больше.
Считать, что из замкнутой области можно бесконечно отбирать с постоянным дебитом без падения давления.

Сабақтан кейін сіз

определить установившийся, псевдоустановившийся и неустановившийся режимы через изменение давления во времени и в пространстве и назвать граничные условия, которые к ним приводят;
объяснить роль сжимаемости и рассчитать общую сжимаемость и пьезопроводность пласта;
оценить, сколько длится неустановившийся режим и когда наступает псевдоустановившийся или установившийся;
узнавать режим по поведению забойного давления и выбирать подходящую к нему формулу притока;
различать линейную, радиальную и сферическую геометрию потока и знать, где каждая встречается.

Три режима: что меняется во времени

Представим скважину, которую пустили с постоянным дебитом. Сразу после пуска флюид поступает к ней только из ближней зоны: там давление снизилось, флюид и порода немного расширились и «отдали» часть объёма. Дальше в пласте давление ещё начальное. Со временем зона пониженного давления — воронка депрессии — расширяется. Что будет потом, зависит от того, что встретит воронка на внешней границе области дренирования (область дренирования).

Три режима фильтрации

Режим: Неустановившийся (transient)
Давление: меняется быстрее всего у скважины, вдали ещё начальное
Граница области: возмущение до неё не дошло, пласт ведёт себя как бесконечный
Где встречается: после пуска, остановки или смены дебита; исследования скважин

Режим: Псевдоустановившийся (pseudo-steady state)
Давление: снижается всюду с одной скоростью, форма профиля не меняется
Граница области: непроницаема: разлом, выклинивание, раздел потоков соседних скважин
Где встречается: истощение замкнутого блока без подпитки

Режим: Установившийся (steady state)
Давление: не меняется
Граница области: через неё поступает столько же флюида, сколько отбирает скважина
Где встречается: поддержание давления закачкой, активный водоносный горизонт

Режим	Давление	Граница области	Где встречается
Неустановившийся (transient)	меняется быстрее всего у скважины, вдали ещё начальное	возмущение до неё не дошло, пласт ведёт себя как бесконечный	после пуска, остановки или смены дебита; исследования скважин
Псевдоустановившийся (pseudo-steady state)	снижается всюду с одной скоростью, форма профиля не меняется	непроницаема: разлом, выклинивание, раздел потоков соседних скважин	истощение замкнутого блока без подпитки
Установившийся (steady state)	не меняется	через неё поступает столько же флюида, сколько отбирает скважина	поддержание давления закачкой, активный водоносный горизонт

В британской литературе псевдоустановившийся режим называют также semi-steady state, в отечественной встречаются термины «псевдостационарный» и «квазистационарный».

Псевдоустановившийся режим — частный случай неустановившегося: давление меняется во времени, но так согласованно, что разности давлений между любыми двумя точками остаются постоянными. Поэтому формулы притока для него выглядят как установившиеся, только с другим постоянным членом (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы).

ЕсептеуРасчётные профили снижения давления в замкнутой круговой области радиусом 300 м (данные примеров урока, дебит 100 м³/сут, скин 0). Через 1 и 10 ч (штриховые линии) воронка депрессии ещё расширяется — режим неустановившийся. Через 100, 250 и 400 ч (сплошные) профиль сохраняет форму и опускается параллельно самому себе — режим псевдоустановившийся. Шкала расстояний логарифмическая, от 1 м.

Аналогия: стержень, который охлаждают с одного конца

Уравнение для давления в пласте совпадает с уравнением теплопроводности. Представьте длинный металлический стержень, из одного конца которого непрерывно отводят тепло с постоянной мощностью. Сначала остывает только ближний участок, и зона остывания постепенно продвигается вдоль стержня — это неустановившийся режим. Если дальний конец теплоизолирован, то, когда остывание дойдёт до него, весь стержень будет остывать с одной скоростью, сохраняя форму распределения температуры, — псевдоустановившийся режим. Если дальний конец опущен в бак с горячей водой, распределение температуры в конце концов перестанет меняться — установившийся режим. Давлению соответствует температура, подвижности $k/\mu$ — теплопроводность, ёмкости $\phi c_t$ — теплоёмкость. Аналогия точна в математике и неполна в физике: в пласте движется вещество, а не тепло.

Почему нужна сжимаемость

Если бы флюид и порода были абсолютно несжимаемы, снижение давления на забое мгновенно передалось бы до самой границы, а из замкнутой области нельзя было бы отобрать ни кубометра. Переходных процессов не было бы вовсе.

Реальные флюиды и порода сжимаемы. При снижении давления каждый объём пласта немного расширяется и отдаёт флюид. Поэтому воронка депрессии растёт постепенно: чтобы давление упало вдали от скважины, флюид поближе к ней должен сначала отдать свой избыток, а течение тормозит вязкость. Меру этого запаса упругости называют общей сжимаемостью (total compressibility):

Общая сжимаемость пород и флюидов

c_t = S_o c_o + S_w c_w + S_g c_g + c_f

мұндағы:

$c_t$ общая сжимаемость, отнесённая к объёму пор, 1/МПа
$S_o,\ S_w,\ S_g$ нефте-, водо- и газонасыщенность, доли единицы
$c_o,\ c_w,\ c_g$ сжимаемость нефти, воды и газа, $c = -\frac{1}{V}\frac{\dd V}{\dd p}$ , 1/МПа
$c_f$ сжимаемость порового пространства — относительное уменьшение объёма пор при снижении порового давления на единицу, 1/МПа

Бірліктер: любые согласованные единицы, например 1/МПа или 1/psi ( $1\ \text{МПа}^{-1} = 6{,}895\cdot10^{-3}\ \text{psi}^{-1}$ )

Мына жағдайда орындалады

сжимаемости определены при пластовой температуре и мало меняются в рассматриваемом диапазоне давлений;
насыщенности заметно не меняются за рассматриваемое время;
для нефти ниже давления насыщения в $c_o$ входит и выделение газа, сжимаемость резко растёт, и такие случаи описывают многофазными моделями.

Каждая фаза вносит вклад пропорционально своей доле в порах. Сжимаемость газа порядка $1/p$ — при 10–20 МПа это 0,05–0,1 МПа⁻¹, в десятки раз больше, чем у нефти, поэтому уже несколько процентов свободного газа увеличивают $c_t$ в разы. Произведение $\phi c_t$ показывает, сколько флюида отдаёт единица объёма пласта при снижении давления на единицу; в отечественной литературе его называют коэффициентом упругоёмкости пласта.

Ориентировочные сжимаемости

Составляющая: Недонасыщенная нефть
Сжимаемость, МПа⁻¹: $(0{,}7\text{–}3)\cdot10^{-3}$
Замечание: больше у лёгких нефтей с большим газосодержанием

Составляющая: Пластовая вода
Сжимаемость, МПа⁻¹: $(0{,}4\text{–}0{,}5)\cdot10^{-3}$
Замечание: мало зависит от давления

Составляющая: Поры сцементированных пород
Сжимаемость, МПа⁻¹: $(0{,}3\text{–}1{,}5)\cdot10^{-3}$
Замечание: у рыхлых песков и высокопористого мела — в разы больше

Составляющая: Газ
Сжимаемость, МПа⁻¹: порядка $1/p$
Замечание: 0,05–0,1 при 10–20 МПа

Составляющая	Сжимаемость, МПа⁻¹	Замечание
Недонасыщенная нефть	$(0{,}7\text{–}3)\cdot10^{-3}$	больше у лёгких нефтей с большим газосодержанием
Пластовая вода	$(0{,}4\text{–}0{,}5)\cdot10^{-3}$	мало зависит от давления
Поры сцементированных пород	$(0{,}3\text{–}1{,}5)\cdot10^{-3}$	у рыхлых песков и высокопористого мела — в разы больше
Газ	порядка $1/p$	0,05–0,1 при 10–20 МПа

Ориентиры для оценочных расчётов. В проекте сжимаемость нефти берут из PVT-исследований (изучения зависимости объёма и фазового состояния флюида от давления и температуры), а сжимаемость пор — из опытов на керне (Сжимаемость пород и влияние напряжений на свойства керна).

Закон Дарси связывает скорость фильтрации с градиентом давления, а баланс массы требует, чтобы разность втекающего в элемент пласта и вытекающего из него флюида шла на изменение массы флюида в этом элементе. Изменение массы выражается через изменение давления и $c_t$ . Вместе они дают уравнение пьезопроводности (diffusivity equation). Для радиального притока к вертикальной скважине в однородном пласте:

Уравнение пьезопроводности для радиального потока

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial p}{\partial r}\right) = \frac{1}{\eta}\,\frac{\partial p}{\partial t},\qquad \eta = \frac{k}{\phi\mu c_t}

мұндағы:

$p(r, t)$ давление на расстоянии $r$ от оси скважины в момент $t$ , Па
$\eta$ пьезопроводность (hydraulic diffusivity), м²/с
$k$ проницаемость пласта, м²
$\phi$ пористость, доли единицы
$\mu$ вязкость флюида, Па·с
$c_t$ общая сжимаемость, 1/Па

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

однородный изотропный пласт постоянной толщины, горизонтальный радиальный поток;
один подвижный флюид с малой и постоянной сжимаемостью ( $c_t\,\Delta p \ll 1$ ), вязкость не зависит от давления;
закон Дарси; малыми слагаемыми с квадратом градиента давления пренебрегают (вывод — в дополнительном разделе).

Левая часть — «кривизна» профиля давления, правая — скорость его изменения во времени. Где профиль, построенный от $\ln r$ , изогнут, давление меняется; где он прямой, давление стоит. Установившийся режим — решение с нулевой правой частью: логарифмический профиль формулы Дюпюи (Установившийся радиальный приток). Псевдоустановившийся — решение с правой частью, одинаковой во всех точках.

Басқа бірліктер жүйелерінде (2)

Метрические промысловые единицы (пьезопроводность)

\eta\,[\text{м}^2/\text{ч}] = 3{,}553\cdot10^{-3}\,\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]}

$k$ — мД, $\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $\eta$ — квадратные метры в час.

$3{,}553\cdot10^{-3} = 0{,}9869\cdot10^{-15}\cdot3600/(10^{-3}\cdot10^{-6})$ : перевод мД → м², часов → секунды, мПа·с → Па·с, 1/МПа → 1/Па. Тот же множитель входит в безразмерное время гидродинамических исследований (Гидродинамические исследования: цели и виды).

Промысловые единицы (oilfield)

\eta\,[\text{ft}^2/\text{ч}] = 2{,}637\cdot10^{-4}\,\frac{k\,[\text{мД}]}{\phi\;\mu\,[\text{сП}]\;c_t\,[\text{psi}^{-1}]}

$k$ — мД, $\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $\eta$ — квадратные футы в час.

$2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в промысловых единицах.

Главное следствие: возмущение давления распространяется не с определённой скоростью, как звук, а расплывается, как тепло. Расстояние, на которое оно заметно продвинулось за время $t$ , — радиус исследования $r_i = \sqrt{4\eta t}$ — растёт как корень из времени. Чтобы охватить вдвое большее расстояние, нужно вчетверо больше времени.

Есептеу мысалыОбщая сжимаемость, пьезопроводность и радиус исследования

Бастапқы деректер (шартты)

Насыщенности: нефть 0,75, связанная вода 0,25, свободного газа нет
Сжимаемости нефти, воды и пор: $1{,}6\cdot10^{-3}$ ; $0{,}45\cdot10^{-3}$ ; $0{,}8\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Проницаемость $k$ ; пористость $\phi$ ; вязкость нефти $\mu$: 50 мД; 0,20; 1,2 мПа·с
Радиус области дренирования $r_e$: 300 м

Шешім

Общая сжимаемость в единицах $10^{-3}$ МПа⁻¹: $c_t = 0{,}75\cdot1{,}6 + 0{,}25\cdot0{,}45 + 0{,}8 = 2{,}1125$ . Вклад нефти — 57 %, воды — 5 %, пор — 38 %.
Пьезопроводность: $\eta = 3{,}553\cdot10^{-3}\cdot\dfrac{50}{0{,}20\cdot1{,}2\cdot2{,}1125\cdot10^{-3}} = 350$ м²/ч, или 0,097 м²/с.
Радиус исследования в неограниченном пласте $r_i = \sqrt{4\eta t}$ : через 1 ч — 37 м, через сутки — 183 м, через 30 сут — 1005 м.
Возмущение доходит до границы области за $t_b = r_e^2/(4\eta) = 300^2/(4\cdot350) = 64$ ч, то есть примерно за 2,7 сут.
Если забыть сжимаемость пор, получится $c_t = 1{,}3125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹ — в 1,61 раза меньше, и во столько же раз будут занижены все времена переходных процессов.

Жауап: Общая сжимаемость —

2{,}1125\cdot10^{-3}

МПа⁻¹, пьезопроводность — около 350 м²/ч; возмущение доходит до границы области радиусом 300 м примерно за 64 ч.

Бұл нені білдіреді. В пласте проницаемостью 50 мД неустановившийся режим в масштабе области дренирования длится около трёх суток (возмущение доходит до границы за 2,7 сут, режим сменяется псевдоустановившимся чуть позже — следующий пример): для эксплуатации это миг, для исследования скважины — вполне достаточное время. Сжимаемость пор дала 38 % общей сжимаемости, поэтому для недонасыщенной нефти пренебрегать ею нельзя. Данные примера условные; сжимаемость нефти — та же, что у условной нефти урока Модель «чёрной нефти»: газосодержание и объёмные коэффициенты.

Сколько длится каждый режим

Продолжительность неустановившегося режима оценивают по тому же радиусу исследования: возмущение доходит до границы на расстоянии $r_e$ примерно за время

Время, за которое возмущение доходит до границы

t_b \approx \frac{\phi\mu c_t\,r_e^2}{4k}

мұндағы:

$t_b$ время от пуска скважины до прихода возмущения к границе, с
$r_e$ расстояние до границы; для круговой области — её радиус, м
$\phi,\ \mu,\ c_t,\ k$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, проницаемость, —, Па·с, 1/Па, м²

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

однородный пласт, скважина в центре круговой области, постоянный дебит после пуска;
для вытянутых областей и скважин, смещённых к границе, до ближней границы возмущение доходит раньше, а режим во всей области устанавливается позже (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы).

Время растёт как квадрат размера области и обратно пропорционально подвижности $k/\mu$ . Расчёт полного решения для круговой области показывает: забойное давление начинает отклоняться от решения для бесконечного пласта примерно при $t \approx t_b$ . При непроницаемой границе псевдоустановившийся режим практически устанавливается к $t \approx 1{,}3\,t_b$ — это условие $kt/(\phi\mu c_t A) \approx 0{,}1$ , где $A$ — площадь области. При постоянном давлении на границе забойное давление подходит к установившемуся значению с точностью 1 % примерно к $t \approx 2\,t_b$ .

Басқа бірліктер жүйелерінде (2)

Метрические промысловые единицы

t_b\,[\text{ч}] = \frac{\phi\;\mu\,[\text{мПа·с}]\;c_t\,[\text{МПа}^{-1}]\;r_e^2\,[\text{м}^2]}{0{,}01421\,k\,[\text{мД}]}

$\mu$ — мПа·с, $c_t$ — 1/МПа, $r_e$ — м, $k$ — мД; время в часах.

$0{,}01421 = 4\cdot3{,}553\cdot10^{-3}$ .

Промысловые единицы (oilfield)

t_b\,[\text{ч}] = \frac{\phi\;\mu\,[\text{сП}]\;c_t\,[\text{psi}^{-1}]\;r_e^2\,[\text{ft}^2]}{1{,}055\cdot10^{-3}\,k\,[\text{мД}]}

$\mu$ — сП, $c_t$ — 1/psi, $r_e$ — футы, $k$ — мД; время в часах.

$1{,}055\cdot10^{-3} = 4\cdot2{,}637\cdot10^{-4}$ , где $2{,}637\cdot10^{-4}$ — множитель безразмерного времени в промысловых единицах.

Есептеу мысалыКогда наступит псевдоустановившийся режим: проницаемый и плотный пласт

Бастапқы деректер (шартты)

Пласт и нефть: как в предыдущем примере: $\phi$ = 0,20, $\mu$ = 1,2 мПа·с, $c_t = 2{,}1125\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹
Область дренирования: круг радиусом 300 м, скважина в центре, граница непроницаема
Проницаемость: 50 мД (пласт А) или 0,5 мД (пласт Б)

Шешім

Произведение $\phi\mu c_t = 0{,}20\cdot1{,}2\cdot2{,}1125\cdot10^{-3} = 5{,}07\cdot10^{-4}$ МПа⁻¹·мПа·с; площадь круга $A = \pi\cdot300^2 = 282{,}7$ тыс. м².
Пласт А: возмущение доходит до границы за $t_b = \dfrac{5{,}07\cdot10^{-4}\cdot300^2}{0{,}01421\cdot50} = 64$ ч.
Псевдоустановившийся режим — при $kt/(\phi\mu c_t A) = 0{,}1$ : $t = \dfrac{0{,}1\cdot5{,}07\cdot10^{-4}\cdot282{,}7\cdot10^3}{3{,}553\cdot10^{-3}\cdot50} = 81$ ч, или 3,4 сут.
Пласт Б в 100 раз менее проницаем, и все времена в 100 раз больше: возмущение доходит до границы за 268 сут, псевдоустановившийся режим наступает через 336 сут.

Жауап: В пласте 50 мД неустановившийся режим заканчивается примерно через 3,4 сут, в пласте 0,5 мД — примерно через 336 сут, то есть почти через год.

Бұл нені білдіреді. Скважина в проницаемом пласте почти сразу выходит на псевдоустановившийся режим, и дальше её продуктивность постоянна. Скважина в плотном пласте почти год работает в неустановившемся режиме: при постоянном забойном давлении её дебит всё это время падает, и прогнозировать его по формуле псевдоустановившегося притока нельзя — нужны решения для неустановившегося притока (Гидродинамические исследования: цели и виды). В сверхнизкопроницаемых коллекторах неустановившийся период растягивается на годы. Данные примера условные.

Как распознать режим по замерам

На практике режим узнают по тому, как меняется забойное давление скважины, работающей с постоянным дебитом (или дебит при постоянном забойном давлении). Пока возмущение не дошло до границ, поведение скважины одинаково, какой бы ни была граница. Различия появляются потом.

ЕсептеуРасчётное снижение забойного давления после пуска скважины из примеров урока (дебит 100 м³/сут, скин 0) в круговой области радиусом 300 м: с непроницаемой границей, с постоянным давлением на границе (подпитка) и в бесконечном пласте (серая штриховая линия). Шкала времени логарифмическая. Первые десятки часов кривые совпадают; потом в замкнутой области давление падает всё быстрее — линейно во времени, а при подпитке через границу стабилизируется.

Признаки режимов по забойному давлению при постоянном дебите

Режим: Неустановившийся радиальный
Как меняется $p_{wf}$: на одну и ту же величину за каждый десятикратный интервал времени
Какой график выпрямляет запись: $p_{wf}$ от $\lg t$
Что по нему определяют: проводимость $kh$ и скин (Анализ кривой восстановления давления)

Режим: Псевдоустановившийся
Как меняется $p_{wf}$: на одну и ту же величину за каждый час
Какой график выпрямляет запись: $p_{wf}$ от $t$ в обычном масштабе
Что по нему определяют: поровый объём области (Исследование на ограниченность пласта)

Режим: Установившийся
Как меняется $p_{wf}$: не меняется
Какой график выпрямляет запись: —
Что по нему определяют: продуктивность при поддержании давления

Режим	Как меняется $p_{wf}$	Какой график выпрямляет запись	Что по нему определяют
Неустановившийся радиальный	на одну и ту же величину за каждый десятикратный интервал времени	$p_{wf}$ от $\lg t$	проводимость $kh$ и скин (Анализ кривой восстановления давления)
Псевдоустановившийся	на одну и ту же величину за каждый час	$p_{wf}$ от $t$ в обычном масштабе	поровый объём области (Исследование на ограниченность пласта)
Установившийся	не меняется	—	продуктивность при поддержании давления

Надёжнее всего режим видно на диагностическом графике производной давления в двойном логарифмическом масштабе (Диагностика по производной давления): у радиального неустановившегося притока производная горизонтальна, у псевдоустановившегося растёт с наклоном 1, при подпитке через границу — падает.

Темп снижения давления в замкнутой области

\frac{\dd \bar p}{\dd t} = -\frac{qB}{c_t V_p}

мұндағы:

$\bar p$ среднее по объёму пор давление в области дренирования, МПа
$q$ дебит в стандартных условиях, м³/сут
$B$ объёмный коэффициент флюида, м³/м³
$c_t$ общая сжимаемость, 1/МПа
$V_p$ поровый объём области дренирования, м³

Бірліктер: согласованные единицы: м³/сут, 1/МПа и м³ дают МПа/сут

Мына жағдайда орындалады

замкнутая область без притока через границы, постоянный дебит;
однофазный флюид с постоянной сжимаемостью.

Это материальный баланс «закрытого бака»: отбор возмещается только расширением пород и флюидов. Для среднего давления равенство верно в любой момент; в псевдоустановившемся режиме с той же скоростью падает давление в каждой точке, в том числе на забое, поэтому запись давления в обычных координатах становится прямой (Гидродинамические исследования: цели и виды).

Геометрия потока

Течение различают и по геометрии — по тому, как сходятся линии тока. Идеализированных схем четыре: линейная, радиальная, полусферическая и сферическая. От геометрии зависит, как растёт перепад давления в неустановившемся режиме, а значит, и то, какой график выпрямляет запись.

Геометрии потока

Геометрия: Линейная
Где встречается: приток воды из водоносного горизонта к протяжённому контакту; узкие вытянутые пласты; поток к трещине гидроразрыва
Перепад давления при постоянном дебите: растёт как $\sqrt t$

Геометрия: Радиальная
Где встречается: вертикальная скважина, вскрывшая всю толщину пласта
Перепад давления при постоянном дебите: растёт как $\ln t$

Геометрия: Сферическая и полусферическая
Где встречается: скважина, вскрывшая малую часть толщины; зонд опробователя пластов на кабеле
Перепад давления при постоянном дебите: быстро приближается к постоянному значению; отличие от него убывает как $1/\sqrt t$

Геометрия	Где встречается	Перепад давления при постоянном дебите
Линейная	приток воды из водоносного горизонта к протяжённому контакту; узкие вытянутые пласты; поток к трещине гидроразрыва	растёт как $\sqrt t$
Радиальная	вертикальная скважина, вскрывшая всю толщину пласта	растёт как $\ln t$
Сферическая и полусферическая	скважина, вскрывшая малую часть толщины; зонд опробователя пластов на кабеле	быстро приближается к постоянному значению; отличие от него убывает как $1/\sqrt t$

Реальный приток часто последовательно проходит несколько геометрий: у скважины с трещиной гидроразрыва сначала линейный поток к трещине, затем радиальный. Геометрию распознают по наклону производной давления на двойном логарифмическом графике: 1/2 — линейный поток, 0 — радиальный, −1/2 — сферический.

В расчётах разработки чаще всего используют две модели: радиальную — для притока к скважине и линейную или радиальную — для притока воды из водоносного горизонта к залежи (Модели притока законтурной воды). Сложную форму пласта и его неоднородность учитывают численно, на гидродинамических моделях (Что такое гидродинамическая модель и зачем она нужна).

Какую модель выбирать в расчётах

Режим и расчётная модель

Задача: Интерпретация кривых падения и восстановления давления (КПД, КВД)
Режим: неустановившийся
Модель: решение для бесконечного пласта (Гидродинамические исследования: цели и виды)

Задача: Продуктивность скважины для прогноза добычи
Режим: псевдоустановившийся
Модель: формула с членом $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ или коэффициентом формы (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы)

Задача: Скважина при поддержании давления закачкой
Режим: близкий к установившемуся
Модель: формула Дюпюи (Установившийся радиальный приток)

Задача: Истощение залежи, материальный баланс
Режим: псевдоустановившийся для залежи в целом
Модель: одно среднее давление на весь объём (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи)

Задача: Приток законтурной воды
Режим: обычно неустановившийся
Модель: модели водоносного горизонта (Модели притока законтурной воды)

Задача: Скважины в плотных пластах
Режим: долго неустановившийся
Модель: решения для неустановившегося притока, анализ падения дебита

Задача	Режим	Модель
Интерпретация кривых падения и восстановления давления (КПД, КВД)	неустановившийся	решение для бесконечного пласта (Гидродинамические исследования: цели и виды)
Продуктивность скважины для прогноза добычи	псевдоустановившийся	формула с членом $\ln(r_e/r_w) - 3/4$ или коэффициентом формы (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы)
Скважина при поддержании давления закачкой	близкий к установившемуся	формула Дюпюи (Установившийся радиальный приток)
Истощение залежи, материальный баланс	псевдоустановившийся для залежи в целом	одно среднее давление на весь объём (Общее уравнение материального баланса нефтяной залежи)
Приток законтурной воды	обычно неустановившийся	модели водоносного горизонта (Модели притока законтурной воды)
Скважины в плотных пластах	долго неустановившийся	решения для неустановившегося притока, анализ падения дебита

Режим фильтрации и режим работы залежи — разные понятия

Режим фильтрации — это характер изменения давления во времени, режим работы залежи — источник пластовой энергии: растворённый газ, газовая шапка, законтурная вода (Естественные режимы работы залежей). Термины похожи, особенно в отечественной литературе: «теорией упругого режима фильтрации» называют теорию неустановившегося притока сжимаемого флюида, а «упругим режимом залежи» — отбор нефти за счёт расширения пород и флюидов. Понятия связаны: в замкнутой недонасыщенной залежи упругий режим залежи означает псевдоустановившееся истощение.

Терминдер мен белгілер

Неустановившийся режим: давление меняется во времени по-разному в разных точках; возмущение ещё не дошло до границ, и пласт ведёт себя как бесконечный (infinite-acting).
Псевдоустановившийся режим: давление в замкнутой области снижается всюду с одной скоростью, разности давлений постоянны.
Установившийся режим: давление и расход в каждой точке не меняются: отбор возмещается через границу.
Воронка депрессии: зона пониженного давления вокруг работающей скважины.
Общая сжимаемость $c_t$: сумма сжимаемостей флюидов, взвешенных по насыщенностям, и сжимаемости пор.
Пьезопроводность $\eta$: $k/(\phi\mu c_t)$ ; задаёт скорость распространения возмущений давления, м²/с.
Радиус исследования $r_i$: расстояние, до которого за время $t$ заметно продвинулось возмущение давления, $\sqrt{4\eta t}$ .

Жиі қателіктер

Қате

«При неустановившемся режиме закон Дарси не работает».

Шын мәнінде

Закон Дарси выполняется в каждой точке и в каждый момент — на нём построено уравнение пьезопроводности. Неприменима при неустановившемся режиме не сам закон, а формула Дюпюи, выведенная в предположении, что через любую окружность проходит один и тот же расход.

Қате

«Псевдоустановившийся режим — это почти установившийся: давление стабилизировалось».

Шын мәнінде

Давление продолжает падать, и с одной скоростью во всех точках; постоянны лишь разности давлений. Скважина в замкнутой области не может бесконечно держать дебит без снижения давления.

Қате

«Сжимаемость пород мала, ею можно пренебречь».

Шын мәнінде

В недонасыщенном пласте сжимаемость пор сопоставима со сжимаемостью нефти: в примере урока она дала 38 % общей сжимаемости. Без неё времена переходных процессов и запас упругой энергии будут занижены.

Қате

«Исследование длилось сутки — значит, оно охватило весь пласт».

Шын мәнінде

Радиус исследования растёт как корень из времени и из подвижности $k/\mu$ : за сутки в пласте 50 мД это около 180 м, а в пласте 0,5 мД — около 18 м.

Толық: тереңдетілген

Вывод уравнения пьезопроводности

Рассмотрим линейный поток вдоль оси $x$ через пласт с площадью сечения $A$ . Масса флюида в элементе длиной $\dd x$ равна $\rho\phi A\,\dd x$ . Её изменение за единицу времени равно разности массовых расходов на входе и выходе элемента:

Баланс массы в элементе пласта

-\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} = \frac{\partial (\rho\phi)}{\partial t},\qquad u = -\frac{k}{\mu}\,\frac{\partial p}{\partial x}

мұндағы:

$\rho$ плотность флюида, кг/м³
$u$ скорость фильтрации (расход, делённый на площадь сечения), м/с
$\phi$ пористость, зависящая от давления через сжимаемость пор, —
$k,\ \mu$ проницаемость и вязкость, м², Па·с

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

поток только вдоль $x$ , один флюид, закон Дарси без учёта силы тяжести.

Первое равенство — сохранение массы, второе — закон Дарси. Вместе они связывают изменение давления в пространстве с изменением массы флюида во времени.

Правую часть выражают через сжимаемости: $\partial\rho/\partial p = \rho c$ для флюида и $\partial\phi/\partial p = \phi c_f$ для пор. Поэтому скорость изменения $\rho\phi$ равна $\rho\phi\,(c + c_f)$ , умноженной на $\partial p/\partial t$ ; сумма $c + c_f$ — общая сжимаемость однофазной системы, а если в порах есть и неподвижные фазы, вместо неё ставят $c_t$ . В левой части производная произведения даёт слагаемое с $\partial^2 p/\partial x^2$ и слагаемое с квадратом градиента $c\,(\partial p/\partial x)^2$ . Второе мало, когда мала сжимаемость: плотность во всём диапазоне давлений почти не меняется, $c\,\Delta p \ll 1$ . Отбросив его и считая $k$ и $\mu$ постоянными, получаем линейное уравнение:

Уравнение пьезопроводности для линейного потока

\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{\phi\mu c_t}{k}\,\frac{\partial p}{\partial t}

мұндағы:

$p(x, t)$ давление, Па
$\phi,\ \mu,\ c_t,\ k$ пористость, вязкость, общая сжимаемость, проницаемость, —, Па·с, 1/Па, м²

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

однородный пласт, $k$ и $\mu$ не зависят от давления;
малая постоянная сжимаемость — условие выполняется для жидкостей, но не для газа.

Такое уравнение описывает приток воды из линейного водоносного горизонта и опыты на керне при пуске насоса. Для радиального потока тот же вывод для кольца радиусом $r$ и площадью $2\pi rh$ даёт уравнение из основного раздела.

Для решения нужны начальное условие — давление всюду равно начальному $p_i$ — и два граничных. На внешней границе задают либо нулевой поток (непроницаемая граница, $\partial p/\partial r = 0$ ), либо постоянное давление (подпитка). На скважине — постоянный дебит или постоянное забойное давление. Первое внешнее условие ведёт после неустановившегося периода к псевдоустановившемуся режиму, второе — к установившемуся.

Безразмерные переменные

Решения уравнения пьезопроводности удобно записывать в безразмерных переменных — тогда одно решение годится для любого пласта:

Безразмерные радиус, время и давление

r_D = \frac{r}{r_w},\qquad t_D = \frac{k\,t}{\phi\mu c_t r_w^2},\qquad p_D = \frac{2\pi kh\,(p_i - p)}{qB\mu}

мұндағы:

$r_D,\ t_D,\ p_D$ безразмерные расстояние, время и снижение давления, —
$r_w$ радиус скважины, м
$p_i$ начальное пластовое давление, Па
$q,\ B$ дебит в стандартных условиях и объёмный коэффициент, м³/с, м³/м³

Бірліктер: СИ; в метрических промысловых единицах $t_D = 3{,}553\cdot10^{-3}\,kt/(\phi\mu c_t r_w^2)$ при $t$ в часах

Мына жағдайда орындалады

условия уравнения пьезопроводности; постоянный дебит.

Для скважины в центре круга радиусом $r_e$ неустановившийся режим длится примерно до $t_D/r_{eD}^2 \approx 1/4$ , где $r_{eD} = r_e/r_w$ ; в замкнутом круге псевдоустановившийся режим устанавливается при $t_D r_w^2/A \approx 0{,}1$ .

Уравнение пьезопроводности в безразмерной форме

\frac{1}{r_D}\frac{\partial}{\partial r_D}\!\left(r_D\,\frac{\partial p_D}{\partial r_D}\right) = \frac{\partial p_D}{\partial t_D}

мұндағы:

$r_D,\ t_D,\ p_D$ безразмерные расстояние, время и снижение давления, определённые выше, —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

те же, что для размерного уравнения; на скважине $r_D\,\partial p_D/\partial r_D = -1$ при постоянном дебите.

Уравнение не содержит ни одного параметра пласта: решение, найденное один раз, пересчитывают к любому пласту через определения безразмерных переменных.

Графики этого урока рассчитаны именно так: безразмерное уравнение решено численно для круговой области со скважиной в центре и двумя вариантами внешней границы, кривая бесконечного пласта построена по логарифмическому приближению $p_D = \tfrac12(\ln t_D + 0{,}809)$ , а результат переведён в часы и мегапаскали по данным примеров. Подробный разбор решений — в уроках Уравнение пьезопроводности и Решение для линейного источника и функция давления.

Газ: когда сжимаемость не мала

Сжимаемость газа порядка $1/p$ и сильно зависит от давления, а вязкость газа меняется вместе с давлением. Условие $c\,\Delta p \ll 1$ не выполняется, и уравнение пьезопроводности для газа нелинейно. Его приводят к почти линейному виду заменой давления на псевдодавление реального газа (псевдодавление), а при больших изменениях давления — и заменой времени на псевдовремя, учитывающее изменение $\mu c_t$ . После такой замены газовые решения выглядят так же, как решения для жидкости, и понятия трёх режимов сохраняются (Установившийся радиальный приток, Объёмный коэффициент, сжимаемость и вязкость газа).

Басқа тақырыптармен байланыс

Проницаемость горных пород — закон Дарси — одна из двух опор уравнения пьезопроводности.
Установившийся радиальный приток — установившийся приток: формула Дюпюи и распределение давления.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — приток в замкнутой области, среднее давление и коэффициенты формы.
Гидродинамические исследования: цели и виды — как неустановившийся режим используют для исследования скважин.
Приток к скважине: диаграмма работы скважины — три режима притока в модели скважины.
Естественные режимы работы залежей — источники пластовой энергии — понятие, которое не следует путать с режимами фильтрации.
Модель «чёрной нефти»: газосодержание и объёмные коэффициенты — сжимаемость нефти выше давления насыщения.
Уравнение пьезопроводности — полный вывод уравнения и его безразмерная форма.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Скважина работает с постоянным дебитом. Её забойное давление снижается на 0,05 МПа в сутки, и в наблюдательной скважине того же блока давление тоже снижается на 0,05 МПа в сутки. Какой это режим?
1. А.Неустановившийся, возмущение ещё не дошло до границ
2. Б.Режим растворённого газа
3. В.Установившийся
4. Г.Псевдоустановившийся
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Г. Псевдоустановившийся
Давление падает, значит, режим не установившийся; скорость снижения одинакова в разных точках — признак псевдоустановившегося режима замкнутой области. «Режим растворённого газа» — источник энергии залежи, а не режим фильтрации.
2
Как изменится время, за которое возмущение давления дойдёт до границы области, если радиус области увеличить вдвое, а проницаемость уменьшить вдвое?
1. А.Увеличится вдвое
2. Б.Увеличится в 8 раз
3. В.Увеличится в 4 раза
4. Г.Не изменится
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Увеличится в 8 раз
$t_b$ пропорционально $r_e^2/k$ : вдвое больший радиус даёт множитель 4, вдвое меньшая проницаемость — ещё 2, всего в 8 раз.
3
Рассчитайте общую сжимаемость при $S_o$ = 0,70, $S_w$ = 0,30, $c_o = 1{,}2\cdot10^{-3}$ , $c_w = 0{,}45\cdot10^{-3}$ , $c_f = 0{,}6\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. Как она изменится, если при давлении 15 МПа в порах появится 3 % свободного газа, а нефтенасыщенность снизится до 0,67?
Жауабын көрсету
Без газа: $0{,}70\cdot1{,}2 + 0{,}30\cdot0{,}45 + 0{,}6 = 0{,}84 + 0{,}135 + 0{,}6 = 1{,}575$ , то есть $1{,}575\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹. С газом: нефть $0{,}67\cdot1{,}2 = 0{,}804$ , газ $0{,}03\cdot(1/15) \approx 0{,}0020$ МПа⁻¹, то есть $2{,}0\cdot10^{-3}$ ; всего около $3{,}54\cdot10^{-3}$ МПа⁻¹ — в 2,2 раза больше. Три процента газа удвоили упругий запас пласта. Ниже давления насыщения нефть к тому же выделяет газ, и эффективная сжимаемость ещё больше.
4
Какой график выпрямляет запись забойного давления в псевдоустановившемся режиме?
1. А. $\lg p_{wf}$ от $\lg t$
2. Б. $p_{wf}$ от $\sqrt t$
3. В. $p_{wf}$ от $t$ в обычном масштабе
4. Г. $p_{wf}$ от $\lg t$
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. $p_{wf}$ от $t$ в обычном масштабе
В псевдоустановившемся режиме давление падает с постоянной скоростью $qB/(c_tV_p)$ , то есть линейно во времени. Прямая в координатах $p_{wf}$ — $\lg t$ характерна для неустановившегося радиального притока, $p_{wf}$ — $\sqrt t$ — для линейного.
5
Почему при закачке воды в окружающие нагнетательные скважины приток к добывающей скважине можно приближённо считать установившимся, а без закачки в замкнутом блоке — нельзя?
Жауабын көрсету
Установившийся режим требует, чтобы через границу области поступало столько же флюида, сколько отбирает скважина: тогда давление в каждой точке постоянно. Закачка по периметру области как раз возмещает отбор. В замкнутом блоке без подпитки отбор покрывается только расширением пород и флюидов, а для этого давление должно непрерывно снижаться — это псевдоустановившийся режим.

Жаңартылған: 1 октября 2026 г.