Неоднородность пласта и осреднение проницаемости

Қысқаша негізгісі

Поток пропорционален проницаемости, а не её логарифму: прослой высокой проницаемости может нести большую часть потока, хотя на логарифмической диаграмме выглядит скромно.
Слои, работающие параллельно, — поток вдоль слоёв, в том числе радиальный приток к скважине, — осредняют арифметически с весом толщин; работающие последовательно — гармонически. Для кольцевых зон вокруг скважины вес — логарифм отношения радиусов: ближняя к скважине зона весит больше всего.
Эквивалентная проницаемость случайной мозаики лежит между гармоническим и арифметическим средними, а для изометричных участков близка к геометрическому. Для логнормальной проницаемости $\bar k_{\text{ар}} = k_Ge^{\sigma^2/2}$ , $\bar k_{\text{гарм}} = k_Ge^{-\sigma^2/2}$ , и их отношение $e^{\sigma^2}$ быстро растёт с разбросом.
Отношение $k_v/k_h$ пачки задают не образцы, а прослои: выдержанные глинистые прослои снижают вертикальную проницаемость на порядки, прерывистые — гораздо меньше. Сообщаются ли слои на расстоянии между скважинами, показывает число $R_L$ .
Коэффициенты Дикстры–Парсонса $V_{DP}$ и Лоренца $L_c$ измеряют разброс проницаемости, но не её расположение; для логнормальной проницаемости оба выражаются через $\sigma_{\ln k}$ .
Длина корреляции — расстояние, на котором значения ещё похожи друг на друга. Если она больше расстояния между скважинами, пласт ведёт себя как слоистый; если много меньше — как мозаика с одной эквивалентной проницаемостью.

Негізгі қатынастар

\bar k = \dfrac{\ln(r_e/r_w)}{\sum_j \ln(r_j/r_{j-1})/k_j}

кольцевые зоны вокруг скважины, установившийся приток

k_\omega = k_G\,e^{\omega\sigma^2/2}

степенные средние логнормальной проницаемости: $\omega = 1$ , $0$ , $-1$ — арифметическое, геометрическое, гармоническое

V_{DP} = 1 - e^{-\sigma_{\ln k}}

коэффициент Дикстры–Парсонса логнормальной проницаемости

L_c = 2\,\Phi\!\left(\sigma_{\ln k}/\sqrt{2}\right) - 1

коэффициент Лоренца логнормальной проницаемости

R_L = \dfrac{L}{H}\sqrt{\dfrac{k_v}{k_h}}

эффективное отношение длины к толщине

Жиі қателіктер

Судить о контрасте проницаемости по логарифмической диаграмме: поток следует самой проницаемости.
Осреднять кольцевые зоны вокруг скважины по площади: ближняя зона весит несравнимо больше.
Считать, что одинаковые $V_{DP}$ означают одинаковое поведение пластов: важно, выдержаны ли прослои между скважинами.
Брать $k_v/k_h$ пласта по паре образцов: вертикальную проницаемость пачки определяют тонкие прослои, которых в образцах нет.
Доверять второму знаку $V_{DP}$ , вычисленного по десятку образцов.
Путать эквивалентную проницаемость неоднородного пласта с эффективной (фазовой) проницаемостью при многофазном потоке.

Сабақтан кейін сіз

описать неоднородность на масштабах от пор до залежи и различать слоистое, мозаичное и коррелированное строение пласта;
выбрать среднее проницаемости для линейного и радиального потока по расположению слоёв и зон и оценить, насколько разные средние расходятся при логнормальном распределении;
объяснить, от чего зависит отношение $k_v/k_h$ пачки, и оценить по нему, сообщаются ли слои на расстоянии между скважинами;
рассчитать коэффициенты Дикстры–Парсонса и Лоренца для слоистого разреза, связать их с разбросом логарифма проницаемости и сказать, чего они не показывают;
объяснить, что такое длина корреляции и как её сравнение с расстоянием между скважинами определяет модель пласта.

Что такое неоднородность и на каких масштабах её видно

Однородных пластов не бывает. Осадок отлагается слоями, у каждого свои размер и сортировка зёрен; потом поры частично заполняет цемент, в каналах растут глинистые минералы, а тектоника добавляет трещины (от чего зависит проницаемость). Пористость одного пласта меняется обычно в полтора-два раза, а проницаемость — на порядки, и работу пласта при добыче и закачке определяет прежде всего её неоднородность.

Масштабы неоднородности

Масштаб: Поры и зёрна
Размеры: микрометры — миллиметры
Что меняется: размер каналов, глинистые минералы, цемент
Чем видно: шлифы, томография, ртутная порометрия

Масштаб: Слойки и слои
Размеры: сантиметры — метры
Что меняется: слоистость, косая слоистость, глинистые прослои
Чем видно: керн, точечный пермеаметр, каротаж, микроимиджеры

Масштаб: Пачки и тела песчаников
Размеры: метры — сотни метров
Что меняется: выклинивание, русла, линзы
Чем видно: корреляция разрезов скважин, исследования скважин

Масштаб: Залежь
Размеры: сотни метров — километры
Что меняется: блоки, разломы, фациальные зоны
Чем видно: сейсморазведка, история разработки

Масштаб	Размеры	Что меняется	Чем видно
Поры и зёрна	микрометры — миллиметры	размер каналов, глинистые минералы, цемент	шлифы, томография, ртутная порометрия
Слойки и слои	сантиметры — метры	слоистость, косая слоистость, глинистые прослои	керн, точечный пермеаметр, каротаж, микроимиджеры
Пачки и тела песчаников	метры — сотни метров	выклинивание, русла, линзы	корреляция разрезов скважин, исследования скважин
Залежь	сотни метров — километры	блоки, разломы, фациальные зоны	сейсморазведка, история разработки

Границы масштабов условны. Свойство, измеренное на одном масштабе, нельзя без пересчёта переносить на другой (керн, каротаж и испытания).

Описывая неоднородность, отвечают на три вопроса. Насколько меняется проницаемость — это распределение и меры неоднородности. Как расположены участки разной проницаемости относительно потока — выдержанными слоями, линзами или случайной мозаикой; здесь важна длина корреляции. В каком направлении — анизотропия, прежде всего отношение вертикальной проницаемости к горизонтальной. Два пласта с одинаковым набором проницаемостей могут работать совершенно по-разному, если различаются вторым и третьим.

Есептеу мысалыТонкий высокопроницаемый прослой

Бастапқы деректер (шартты)

Пачка: толщина 24 м: прослой 1,2 м проницаемостью 1500 мД, остальные 22,8 м — около 60 мД
Пористость: почти одинаковая по всей пачке

Шешім

Проводимость прослоя $kh = 1500\cdot1{,}2 = 1800$ мД·м, остальной пачки $60\cdot22{,}8 = 1368$ мД·м.
Доля потока вдоль пачки, идущая через прослой: $1800/(1800 + 1368) = 0{,}568$ — 57 % потока через 5 % толщины.
Средняя проницаемость пачки вдоль слоёв: $(1800 + 1368)/24 = 132$ мД — в 2,2 раза выше, чем у основной породы.
На логарифмической шкале прослой отличается от остальной пачки на $\lg 1500 - \lg 60 = 1{,}40$ порядка. Скорость движения флюида в нём при той же пористости и том же перепаде давления в $1500/60 = 25$ раз больше.

Жауап: Прослой в 5 % толщины несёт 57 % потока.

Бұл нені білдіреді. На логарифмической диаграмме проницаемости по глубине такой прослой выглядит заметным, но не исключительным пиком, а поток следует самой проницаемости. Для дебита скважины прослой — подарок: больше половины притока. Для заводнения — угроза: если слои не сообщаются, по прослою вода дойдёт до добывающих скважин во много раз быстрее, чем по основной породе, и дальше будет циркулировать по промытому пути (Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти; как заводняется такой пласт — в уроке Вытеснение в неоднородных пластах). Тонкие высокопроницаемые прослои легко пропустить: рыхлую породу при отборе керна размывает, а каротаж осредняет прослой с соседними породами. Данные примера условные.

Слои и зоны: линейный и радиальный поток

Правила для слоёв уже знакомы. Слои, работающие параллельно, складывают свои проводимости $k_ih_i$ , и поток вдоль них описывает арифметическое среднее с весом толщин. Слои, работающие последовательно, складывают сопротивления $L_i/k_i$ , и поток поперёк них описывает гармоническое среднее (осреднение по слоям, три средних для проницаемости). Здесь — что меняется, когда поток к скважине радиальный.

Слои при радиальном притоке. Пусть скважина вскрывает несколько слоёв, и у всех одно давление на забое и одно на внешней границе. Каждый слой даёт приток, пропорциональный своей проводимости $k_ih_i$ , и их сумма равна притоку однородного пласта с проницаемостью $\sum k_ih_i/\sum h_i$ — то же арифметическое среднее, что и при линейном потоке. Если слои сообщаются по вертикали, это ничего не меняет: распределение давления в них одинаково, и перетекать между ними нечему. Перетоки появляются, когда различаются давления на границах слоёв или их скин-факторы — например, когда слои по-разному истощены. Неустановившееся исследование скважины в слоистом пласте тоже определяет суммарную проводимость $\sum k_ih_i$ (Анализ кривой восстановления давления).

Кольцевые зоны вокруг скважины работают последовательно: весь приток проходит через каждую из них. Но площадь, через которую идёт поток, растёт с расстоянием от скважины, поэтому сопротивление зоны пропорционально не её ширине, а логарифму отношения её радиусов.

Средняя проницаемость кольцевых зон при радиальном притоке

\bar k = \frac{\ln(r_e/r_w)}{\sum_{j=1}^{n} \ln(r_j/r_{j-1})/k_j}

мұндағы:

$\bar k$ проницаемость однородного пласта, дающего тот же приток, мД
$k_j$ проницаемость $j$ -й зоны — кольца между радиусами $r_{j-1}$ и $r_j$ , мД
$r_j$ внешний радиус $j$ -й зоны; $r_0 = r_w$ , $r_n = r_e$ , м
$r_w,\ r_e$ радиус скважины и радиус внешней границы области питания, м

Бірліктер: проницаемости — в любых одинаковых единицах; радиусы — в одинаковых единицах (входят только отношения)

Мына жағдайда орындалады

установившийся однофазный приток; зоны — соосные цилиндры на всю толщину пласта, каждая однородна;
давление на внешней границе постоянно;
с одной внутренней зоной формула равносильна скин-фактору Хокинса: $\bar k = k\ln(r_e/r_w)/[\ln(r_e/r_w) + S]$ (Скин-фактор).

Кольца с одинаковым отношением внешнего радиуса к внутреннему весят одинаково: зона от 0,1 до 1 м значит для притока столько же, сколько зона от 100 до 1000 м. Поэтому проницаемость вблизи скважины определяет приток гораздо сильнее, чем доля её объёма в пласте.

Есептеу мысалыХорошая порода у скважины или вдали от неё

Бастапқы деректер (шартты)

Скважина: радиус 0,1 м; внешняя граница области питания — 500 м
Вариант А: до 100 м от скважины — порода 200 мД, дальше — 20 мД
Вариант Б: наоборот: до 100 м — 20 мД, дальше — 200 мД

Шешім

Логарифмы: $\ln(100/0{,}1) = 6{,}908$ , $\ln(500/100) = 1{,}609$ , $\ln(500/0{,}1) = 8{,}517$ .
Вариант А: $\bar k = 8{,}517/(6{,}908/200 + 1{,}609/20) = 8{,}517/0{,}1150 = 74{,}1$ мД.
Вариант Б: $\bar k = 8{,}517/(6{,}908/20 + 1{,}609/200) = 8{,}517/0{,}3534 = 24{,}1$ мД. Приток в варианте А в 3,1 раза больше.
Внутренняя зона занимает лишь $(100/500)^2 = 0{,}04$ площади. Среднее по площади дало бы для варианта А $0{,}04\cdot200 + 0{,}96\cdot20 = 27{,}2$ мД, а для варианта Б — $0{,}04\cdot20 + 0{,}96\cdot200 = 192{,}8$ мД: совсем другую картину.

Жауап: При одних и тех же объёмах пород приток определяет их расположение: 74,1 мД, если хорошая порода у скважины, и 24,1 мД, если она дальше 100 м.

Бұл нені білдіреді. Вблизи скважины поток сходится, скорость фильтрации и градиент давления наибольшие, поэтому ближняя зона «весит» несравнимо больше дальней. В варианте Б почти весь перепад давления — 98 % — тратится в плотной зоне радиусом 100 м (рисунок). Отсюда практические следствия: исследование скважины в начале записи видит проницаемость ближней зоны; обработка призабойной зоны или гидроразрыв дают много, если ближняя порода хуже дальней; проницаемость по одной скважине нельзя переносить на всю залежь, не зная, где эта скважина стоит. Данные примера условные.

ЕсептеуКакая доля депрессии расходуется между стенкой скважины и расстоянием

r

: варианты А и Б из примера и однородный пласт (установившийся приток,

r_w

= 0,1 м,

r_e

= 500 м; ось расстояний логарифмическая).

Случайная мозаика и логнормальная проницаемость

Если выдержанных слоёв нет, а участки разной проницаемости перемешаны случайно и мелко по сравнению с расстоянием между скважинами, поток выбирает пути через лучшие участки, но обойти плохие полностью не может. Эквивалентная проницаемость такой мозаики лежит между гармоническим и арифметическим средними — это строгие границы для любого расположения участков, — а если участки не вытянуты в каком-либо направлении, близка к геометрическому.

Для логнормально распределённой проницаемости все средние выражаются через среднее геометрическое $k_G$ и стандартное отклонение натурального логарифма $\sigma = \sigma_{\ln k}$ .

Средние логнормально распределённой проницаемости

\bar k_{\text{ар}} = k_G\,e^{\sigma^2/2},\qquad \bar k_{\text{гарм}} = k_G\,e^{-\sigma^2/2},\qquad \frac{\bar k_{\text{ар}}}{\bar k_{\text{гарм}}} = e^{\sigma^2}

мұндағы:

$\bar k_{\text{ар}},\ \bar k_{\text{гарм}}$ средние арифметическое и гармоническое, мД
$k_G$ среднее геометрическое — оно же медиана логнормального распределения, мД
$\sigma$ стандартное отклонение натурального логарифма проницаемости, —

Бірліктер: проницаемости — в любых одинаковых единицах; $\sigma$ безразмерно

Мына жағдайда орындалады

проницаемость распределена логнормально; средние относятся ко всей совокупности (большая выборка, веса — объёмы);
по десятку образцов формулы дают лишь ориентир: малые выборки плохо представляют хвосты распределения.

Отношение крайних средних растёт с разбросом очень быстро: при $\sigma = 1$ оно около 2,7, при 1,5 — около 9,5, при 2 — около 55. Чем неоднороднее пласт, тем важнее знать, как в нём расположены участки разной проницаемости.

Где между границами окажется эквивалентная проницаемость, зависит от размерности потока. В цепочке участков (одномерный поток) работает гармоническое среднее. Для двумерного потока в изотропной случайной среде с логнормальной проницаемостью эквивалентная проницаемость строго равна среднему геометрическому. В трёхмерной среде у потока больше обходных путей, и она выше — приближённо $k_Ge^{\sigma^2/6}$ ; это оценка, которую проверяют расчётом на модели.

Эквивалентная проницаемость логнормальной породы при разном расположении

Расположение относительно потока: Выдержанные слои, поток вдоль них
Эквивалентная проницаемость: $k_Ge^{\sigma^2/2}$ — арифметическое среднее
Показатель $\omega$: 1

Расположение относительно потока: Случайная мозаика, трёхмерный поток
Эквивалентная проницаемость: около $k_Ge^{\sigma^2/6}$
Показатель $\omega$: около 1/3

Расположение относительно потока: Случайная мозаика, двумерный поток
Эквивалентная проницаемость: $k_G$ — геометрическое среднее
Показатель $\omega$: 0

Расположение относительно потока: Слои поперёк потока, цепочка участков
Эквивалентная проницаемость: $k_Ge^{-\sigma^2/2}$ — гармоническое среднее
Показатель $\omega$: −1

Расположение относительно потока	Эквивалентная проницаемость	Показатель $\omega$
Выдержанные слои, поток вдоль них	$k_Ge^{\sigma^2/2}$ — арифметическое среднее	1
Случайная мозаика, трёхмерный поток	около $k_Ge^{\sigma^2/6}$	около 1/3
Случайная мозаика, двумерный поток	$k_G$ — геометрическое среднее	0
Слои поперёк потока, цепочка участков	$k_Ge^{-\sigma^2/2}$ — гармоническое среднее	−1

$\omega$ — показатель степенного среднего, которое совпадает с эквивалентной проницаемостью (раздел для углублённого изучения). Для линз, вытянутых вдоль потока, он ближе к 1, поперёк потока — к −1.

Есептеу мысалыОдна порода — три расположения

Бастапқы деректер (шартты)

Проницаемость: логнормальная; медиана (среднее геометрическое) $k_G$ = 40 мД, $V_{DP}$ = 0,70

Шешім

Разброс логарифма: $\sigma = -\ln(1 - 0{,}70) = -\ln 0{,}30 = 1{,}204$ ; $\sigma^2 = 1{,}450$ .
Выдержанные слои, поток вдоль них: $40\cdot e^{1{,}450/2} = 40\cdot e^{0{,}725} = 82{,}6$ мД.
Те же слои, поток поперёк: $40\cdot e^{-0{,}725} = 19{,}4$ мД.
Случайная мозаика: в двумерном потоке 40 мД, в трёхмерном около $40\cdot e^{1{,}450/6} = 40\cdot e^{0{,}242} = 51{,}0$ мД.

Жауап: От 19,4 до 82,6 мД — в 4,3 раза — в зависимости от того, как расположены одни и те же участки породы.

Бұл нені білдіреді. Распределение проницаемости одно и то же, а эквивалентная проницаемость различается вчетверо. Для расчёта притока мало знать гистограмму проницаемости по керну: нужно понимать, выдержаны ли прослои по площади и в каком направлении идёт поток. Сравнение средних по керну с проницаемостью по исследованию скважины подсказывает, какая картина ближе к действительности (керн, каротаж и испытания). Данные примера условные.

Анизотропия: вертикальная и горизонтальная проницаемость

В осадочных породах вертикальная проницаемость $k_v$ обычно меньше горизонтальной $k_h$ (анизотропия проницаемости). У отдельного образца чистого песчаника отношение $k_v/k_h$ чаще всего от нескольких десятых до единицы: его снижают слойки и уплощённые зёрна. У пачки толщиной в несколько метров его определяют глинистые и уплотнённые прослои, и оно бывает сотыми и тысячными долями. Поэтому $k_v/k_h$ — свойство масштаба, а не породы.

Насколько прослои снижают $k_v$ , зависит от их протяжённости. Выдержанный прослой работает последовательно с песчаником, и вертикальная проницаемость пачки — гармоническое среднее: прослой толщиной в несколько сантиметров может уменьшить её в сотни раз (пример с пропущенным прослоем). Прерывистые прослои поток обходит, удлиняя путь, и $k_v$ падает тем сильнее, чем больше в пачке глины и чем длиннее прослои по сравнению с промежутками между ними. Гармоническое среднее по образцам — нижняя граница, если все прослои в образцы попали, и сильно завышенная оценка, если тонкие прослои пропущены.

Образцы, выбуренные по вертикали и по горизонтали, и полноразмерный керн — масштаб сантиметров и дециметров (Лабораторный анализ керна).
Опробователь пластов с несколькими зондами по высоте ствола: отклик давления на соседнем зонде даёт $k_v$ интервала порядка метра.
Исследования скважин, вскрывших пласт частично, где поток у скважины сферический, и горизонтальных скважин (Несовершенство вскрытия и наклон скважины, Горизонтальные скважины).
История разработки: время прорыва конусов воды и газа и рост газового фактора (Конусообразование воды и газа).

От $k_v/k_h$ зависят предельные безводные дебиты и время прорыва конусов, продуктивность горизонтальных скважин, псевдоскин частичного вскрытия, скорость гравитационного разделения фаз и то, сообщаются ли слои при заводнении. Последнее удобно оценивать безразмерным числом.

Эффективное отношение длины к толщине

R_L = \frac{L}{H}\sqrt{\frac{k_v}{k_h}} = \frac{L}{I\,H}

мұндағы:

$R_L$ эффективное отношение длины к толщине (effective aspect ratio), —
$L$ расстояние вдоль пласта, например между нагнетательной и добывающей скважинами, м
$H$ толщина пачки, м
$k_v,\ k_h$ вертикальная и горизонтальная проницаемость пачки, мД
$I$ индекс анизотропии $\sqrt{k_h/k_v}$ , как в уроке Горизонтальные скважины, —

Бірліктер: любые одинаковые единицы длины и проницаемости

Мына жағдайда орындалады

$k_v$ и $k_h$ — эквивалентные проницаемости пачки по двум направлениям;
оценка порядка величины: число сравнивает масштабы и не даёт точного критерия.

Если растянуть вертикальную координату в $I$ раз, анизотропный пласт становится изотропным толщиной $IH$ . Тогда $R_L^2$ — отношение времени выравнивания давления вдоль пласта на расстоянии $L$ ко времени выравнивания по толщине. При $R_L$ намного больше единицы флюиды успевают перераспределиться по вертикали, пока движутся между скважинами, и слои работают как сообщающиеся; при $R_L$ заметно меньше единицы перетоки между слоями за это время малы, и слои работают почти независимо.

Есептеу мысалыСообщаются ли слои между скважинами

Бастапқы деректер (шартты)

Пачка: толщина 20 м; расстояние между нагнетательной и добывающей скважинами 400 м
Вариант 1: прерывистые глинистые прослои: $k_v/k_h$ = 0,05
Вариант 2: выдержанный глинистый прослой посередине: $k_v/k_h$ = 0,001

Шешім

Вариант 1: $I = \sqrt{1/0{,}05} = 4{,}472$ ; $R_L = 400/(4{,}472\cdot20) = 4{,}47$ . «Растянутая» толщина $IH = 89$ м: пачка ведёт себя как изотропная толщиной около 89 м на длине 400 м.
Вариант 2: $I = \sqrt{1/0{,}001} = 31{,}62$ ; $R_L = 400/(31{,}62\cdot20) = 0{,}63$ ; $IH = 632$ м — больше расстояния между скважинами.

Жауап:

R_L

около 4,47 в первом варианте и около 0,63 во втором.

Бұл нені білдіреді. В первом варианте давление выравнивается по толщине примерно в $R_L^2 \approx 20$ раз быстрее, чем на расстоянии между скважинами: слои заметно сообщаются, закачанная вода будет перетекать между ними и под действием силы тяжести стекать к подошве. Во втором варианте вертикальное выравнивание медленнее горизонтального: верх и низ пачки сообщаются слабо — переток через прослой есть, но выровнять их он не успевает, — и для расчёта заводнения нужна модель с отдельными слоями и перетоками между ними. Чем это оборачивается для охвата пласта водой — в уроке Вытеснение в неоднородных пластах. Данные примера условные.

Меры неоднородности: коэффициенты Дикстры–Парсонса и Лоренца

Разброс проницаемости одним числом описывают по-разному. Коэффициент вариации $C_v$ и стандартное отклонение логарифма $\sigma_{\ln k}$ разобраны в уроках Описательная статистика в геологии и Распределения и достаточность выборки. В расчётах заводнения слоистых пластов традиционно используют ещё два. Коэффициент Дикстры–Парсонса $V_{DP}$ читают по вероятностному графику проницаемости (определение). Коэффициент Лоренца $L_c$ — удвоенная площадь между кривой «доля проводимости — доля ёмкости» и диагональю (построение). Оба равны нулю у однородного пласта и растут к единице с неоднородностью.

Как находят

V_{DP}

слоистого разреза

1
Разбить разрез на прослои
По керну и каротажу выделить прослои с толщинами $h_i$ и проницаемостями $k_i$ ; если данные — образцы, каждому образцу приписывают толщину, которую он представляет.
2
Упорядочить
Расположить прослои по убыванию проницаемости и для каждого найти долю толщины разреза с большей проницаемостью (до середины прослоя).
3
Построить вероятностный график
Отложить $\ln k$ против квантиля нормального распределения этой доли и провести прямую через центральные точки.
4
Прочитать
$k_{50}$ — при доле 50 %, $k_{84{,}1}$ — при доле 84,1 %; $V_{DP} = (k_{50} - k_{84{,}1})/k_{50}$ . Для логнормального разреза то же даёт $1 - e^{-\sigma}$ , где $\sigma$ — стандартное отклонение $\ln k$ с весом толщин.

Коэффициент Лоренца логнормальной проницаемости

L_c = 2\,\Phi\!\left(\frac{\sigma_{\ln k}}{\sqrt{2}}\right) - 1

мұндағы:

$L_c$ коэффициент Лоренца, —
$\Phi$ функция стандартного нормального распределения, —
$\sigma_{\ln k}$ стандартное отклонение натурального логарифма проницаемости, —

Бірліктер: безразмерный

Мына жағдайда орындалады

проницаемость логнормальна, пористость прослоев одинакова; иначе прослои упорядочивают по $k/\phi$ и взвешивают по $\phi h$ , и формула даёт лишь ориентир;
прослоев много, кривая Лоренца гладкая.

Через $\sigma_{\ln k}$ оба коэффициента связаны однозначно: $V_{DP} = 1 - e^{-\sigma}$ и $L_c = 2\Phi(\sigma/\sqrt{2}) - 1$ , то же, что $\operatorname{erf}(\sigma/2)$ . Кривая Лоренца такого пласта — $F = \Phi\bigl(\Phi^{-1}(C) + \sigma\bigr)$ ; вывод — в разделе для углублённого изучения.

Меры неоднородности логнормальной проницаемости

$V_{DP}$: 0,3
$\sigma_{\ln k}$: 0,36
$L_c$: 0,20
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 1,14

$V_{DP}$: 0,5
$\sigma_{\ln k}$: 0,69
$L_c$: 0,38
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 1,62

$V_{DP}$: 0,6
$\sigma_{\ln k}$: 0,92
$L_c$: 0,48
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 2,32

$V_{DP}$: 0,7
$\sigma_{\ln k}$: 1,20
$L_c$: 0,61
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 4,26

$V_{DP}$: 0,8
$\sigma_{\ln k}$: 1,61
$L_c$: 0,74
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 13,3

$V_{DP}$: 0,9
$\sigma_{\ln k}$: 2,30
$L_c$: 0,90
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$: 201

$V_{DP}$	$\sigma_{\ln k}$	$L_c$	$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}}$
0,3	0,36	0,20	1,14
0,5	0,69	0,38	1,62
0,6	0,92	0,48	2,32
0,7	1,20	0,61	4,26
0,8	1,61	0,74	13,3
0,9	2,30	0,90	201

У большинства коллекторов $V_{DP}$ от 0,5 до 0,9. Шкала сжата у верхнего края: от 0,8 до 0,9 отношение крайних средних растёт в пятнадцать раз.

Прослои разреза (сверху вниз)

Прослой: 1
$h$ , м: 1,5
$k$ , мД: 310
$\phi$: 0,23

Прослой: 2
$h$ , м: 2,0
$k$ , мД: 45
$\phi$: 0,18

Прослой: 3
$h$ , м: 3,0
$k$ , мД: 120
$\phi$: 0,21

Прослой: 4
$h$ , м: 1,0
$k$ , мД: 900
$\phi$: 0,25

Прослой: 5
$h$ , м: 2,5
$k$ , мД: 18
$\phi$: 0,15

Прослой: 6
$h$ , м: 2,0
$k$ , мД: 75
$\phi$: 0,19

Прослой: 7
$h$ , м: 3,0
$k$ , мД: 8
$\phi$: 0,13

Прослой: 8
$h$ , м: 1,0
$k$ , мД: 200
$\phi$: 0,22

Прослой	$h$ , м	$k$ , мД	$\phi$
1	1,5	310	0,23
2	2,0	45	0,18
3	3,0	120	0,21
4	1,0	900	0,25
5	2,5	18	0,15
6	2,0	75	0,19
7	3,0	8	0,13
8	1,0	200	0,22

Общая толщина 16,0 м. Данные условные.

Есептеу мысалыМеры неоднородности восьми прослоев

Бастапқы деректер (шартты)

Разрез: восемь прослоев общей толщиной 16,0 м (таблица выше)
Веса: толщины прослоев: прослои — это и есть весь разрез

Шешім

Натуральные логарифмы проницаемости прослоев по порядку: 5,737; 3,807; 4,787; 6,802; 2,890; 4,317; 2,079; 5,298.
Среднее с весом толщин: $m = \sum h_i\ln k_i/\sum h_i = 64{,}78/16{,}0 = 4{,}049$ ; среднее геометрическое $k_G = e^{4{,}049} \approx 57$ мД.
Разброс: $\sigma^2 = \sum h_i(\ln k_i - m)^2/\sum h_i = 30{,}31/16{,}0 = 1{,}894$ ; $\sigma = 1{,}376$ .
Коэффициент Дикстры–Парсонса: $V_{DP} = 1 - e^{-1{,}376} = 0{,}747$ .
Коэффициент Лоренца логнормальной модели: $L_c = 2\Phi(1{,}376/1{,}414) - 1 = 2\Phi(0{,}973) - 1 \approx 0{,}67$ .
Кривая Лоренца самих прослоев (таблица и рисунок ниже) даёт $L_c \approx 0{,}56$ ; с одинаковой пористостью всех прослоев получилось бы 0,64.
Средние с весом толщин: арифметическое 139,6 мД, гармоническое 25,8 мД; их отношение 5,4 против $e^{\sigma^2} = 6{,}6$ у логнормальной модели.

Жауап:

V_{DP} \approx 0{,}747

;

L_c \approx 0{,}56

по прослоям и 0,67 по логнормальной модели.

Бұл нені білдіреді. Разрез заметно неоднороден: три лучших прослоя — 28 % ёмкости — дают 70 % проводимости. Прямой расчёт дал меньший коэффициент Лоренца, чем логнормальная модель, по двум причинам. Лучшие прослои здесь и самые пористые: они не только проводят, но и вмещают больше, и это смягчает контраст — с одинаковой пористостью получилось бы 0,64. Остальное дают малое число прослоев — ломаная по восьми точкам срезает изгиб кривой — и отличие разреза от строго логнормального. Практический вывод: сравнивать $V_{DP}$ и $L_c$ разных пластов можно, только если они получены одним способом и по сопоставимому числу прослоев. Данные примера условные.

Кривая Лоренца прослоев

Прослой: 4
$k/\phi$ , мД: 3600
$C$: 0,085
$F$: 0,403

Прослой: 1
$k/\phi$ , мД: 1348
$C$: 0,202
$F$: 0,611

Прослой: 8
$k/\phi$ , мД: 909
$C$: 0,276
$F$: 0,701

Прослой: 3
$k/\phi$ , мД: 571
$C$: 0,490
$F$: 0,862

Прослой: 6
$k/\phi$ , мД: 395
$C$: 0,619
$F$: 0,929

Прослой: 2
$k/\phi$ , мД: 250
$C$: 0,741
$F$: 0,969

Прослой: 5
$k/\phi$ , мД: 120
$C$: 0,868
$F$: 0,989

Прослой: 7
$k/\phi$ , мД: 62
$C$: 1,000
$F$: 1,000

Прослой	$k/\phi$ , мД	$C$	$F$
4	3600	0,085	0,403
1	1348	0,202	0,611
8	909	0,276	0,701
3	571	0,490	0,862
6	395	0,619	0,929
2	250	0,741	0,969
5	120	0,868	0,989
7	62	1,000	1,000

Прослои по убыванию $k/\phi$ ; $C$ — накопленная доля ёмкости $\phi h$ , $F$ — накопленная доля проводимости $kh$ после этого прослоя.

ЕсептеуКривые Лоренца логнормальной проницаемости при

V_{DP}

= 0,5; 0,75 и 0,9 и точки восьми прослоев примера (их

V_{DP} \approx 0{,}75

). Штриховая диагональ — однородный пласт. Точки лежат ниже кривой с тем же

V_{DP}

: лучшие прослои ещё и самые пористые, а ломаная по восьми точкам срезает изгиб.

Чего меры неоднородности не показывают

$V_{DP}$ и $L_c$ зависят только от набора значений: перемешайте прослои в другом порядке или разнесите их по площади — коэффициенты не изменятся, а работа пласта изменится.
Они не говорят, выдержаны ли прослои между скважинами, в каком порядке лежат по разрезу и сообщаются ли друг с другом. Для этого нужны корреляция разрезов, $k_v/k_h$ и длина корреляции.
Значение зависит от масштаба данных: по точечным замерам разброс больше, чем по образцам, по образцам — больше, чем по каротажу.

Пространственная корреляция и длина корреляции

Расположение участков разной проницаемости описывает пространственная корреляция: значения в соседних точках похожи друг на друга, и сходство убывает с расстоянием. Расстояние, на котором оно практически исчезает, называют длиной корреляции (correlation length), в геостатистике — радиусом корреляции.

Длины корреляции различаются по направлениям. По вертикали они малы — от сантиметров до метров, по толщине слойков и слоёв. По горизонтали — от десятков метров у русловых песчаников до километров у пластов, отложенных на обширном морском мелководье. Отношение горизонтальной длины к вертикальной — десятки и сотни; поэтому прослои вытянуты вдоль напластования, а анизотропия пачки — следствие той же корреляции.

ЕсептеуДва разреза длиной 300 м и толщиной 16 м (вертикальный масштаб увеличен), построенные из одного и того же набора значений проницаемости (модель урока: среднее геометрическое 40 мД,

\sigma_{\ln k}

= 1,2). Вверху длины корреляции около 15 м по горизонтали и 3 м по вертикали — мелкая мозаика; внизу около 360 м и 4,5 м — вытянутые тела, высокопроницаемые полосы которых тянутся на сотни метров.

Сравнение длины корреляции $\lambda$ с расстоянием между скважинами $L$ подсказывает модель пласта.

$\lambda$ намного больше $L$ . Прослои прослеживаются от скважины к скважине — пласт слоистый: у каждого слоя своя проницаемость, поток вдоль слоёв описывает арифметическое среднее, заводнение идёт послойно (Вытеснение в неоднородных пластах).
$\lambda$ намного меньше $L$ . Между скважинами укладываются десятки независимых участков, и их различия осредняются: пласт ведёт себя как однородный с одной эквивалентной проницаемостью. Для изометричных участков она близка к геометрическому среднему; для участков, вытянутых вдоль напластования, при потоке вдоль пласта она выше и ближе к арифметическому (таблица в разделе о случайной мозаике).
$\lambda$ сравнима с $L$ — самый трудный случай. Решает связность: соединяются ли высокопроницаемые тела в сквозные пути между скважинами. Такие пласты описывают геостатистическими моделями и проверяют расчётом на гидродинамической модели.

Длину корреляции по вертикали измеряют по керну и каротажу, по горизонтали — почти никогда: скважины стоят слишком редко. Её берут из геологии — по обстановкам осадконакопления, обнажениям-аналогам, сейсмическим данным, корреляции разрезов скважин (Корреляция скважин) — и уточняют по исследованиям взаимодействия скважин и истории разработки. Количественно корреляцию описывает вариограмма (Пространственная корреляция и вариограмма).

Корреляция влияет и на точность оценок. Образцы, взятые через 0,3 м при вертикальной длине корреляции около метра, не независимы: тридцать таких образцов из девяти метров разреза несут меньше сведений, чем тридцать независимых измерений, и погрешность средних и мер неоднородности получается больше, чем по формулам для независимой выборки (раздел для углублённого изучения).

Как неоднородность учитывают в расчётах

Однородный пласт со средней проницаемостью годится, когда неоднородность не влияет на поток в масштабе задачи: участки разной проницаемости мелки по сравнению с расстоянием между скважинами и перемешаны без порядка. Среднее выбирают по геометрии потока.
Слоистая модель (layer cake): прослои, прослеживаемые между скважинами, каждый со своими проницаемостью и пористостью и со связью с соседями через $k_v$ . Удобна для аналитических расчётов заводнения (Вытеснение в неоднородных пластах).
Гидродинамические единицы (flow units): прослои объединяют в группы со сходной связью пористости и проницаемости и сходным поведением при течении.
Геостатистическая модель: много равновероятных вариантов распределения свойств с заданными гистограммой и длинами корреляции; их различия показывают неопределённость прогноза (Пространственная корреляция и вариограмма).
Переход к ячейкам гидродинамической модели: детальную модель укрупняют, для каждой ячейки находят эквивалентную проницаемость по направлениям (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке), а для потока между ячейками — проводимость (Перетоки между ячейками и проводимость).
Проверка по поведению пласта: проницаемость по исследованиям скважин, профили притока и приёмистости, замеры давления по пропласткам, время прорыва воды. Расхождения с моделью говорят о неучтённой неоднородности (Адаптация модели к истории разработки).

Терминдер мен белгілер

Неоднородность пласта: изменчивость свойств породы от точки к точке и по направлениям.
Эквивалентная проницаемость: проницаемость однородного пласта, дающего тот же поток, что и неоднородный, при тех же граничных условиях. По-английски её тоже называют effective permeability; не путать с эффективной (фазовой) проницаемостью при многофазном потоке.
Слоистый и мозаичный пласт: в первом прослои прослеживаются между скважинами, во втором участки разной проницаемости перемешаны мелко и случайно.
$k_v/k_h$: отношение вертикальной проницаемости к горизонтальной; зависит от масштаба и определяется прослоями.
$R_L$: эффективное отношение длины к толщине: показывает, успевают ли слои обмениваться флюидом на расстоянии между скважинами.
$V_{DP}$ , $L_c$: коэффициенты Дикстры–Парсонса и Лоренца — меры разброса проницаемости от 0 (однородный пласт) до 1.
Длина корреляции: расстояние, на котором значения свойства ещё похожи друг на друга; различается по направлениям.
Степенное среднее: среднее $(\sum w_ik_i^{\omega}/\sum w_i)^{1/\omega}$ ; при $\omega$ = 1, 0 и −1 — арифметическое, геометрическое и гармоническое.

Жиі қателіктер

Қате

«На логарифмической диаграмме все прослои близки — значит, пласт почти однородный».

Шын мәнінде

Поток следует самой проницаемости, а не её логарифму. Прослой, отличающийся на полтора порядка, при толщине в 5 % пачки может нести больше половины потока.

Қате

«Средняя проницаемость вокруг скважины — это среднее по площади зон».

Шын мәнінде

Для радиального притока зоны работают последовательно с логарифмическими весами: ближняя к скважине зона весит гораздо больше, чем доля её площади.

Қате

«У двух пластов $V_{DP}$ = 0,75 — заводнение пойдёт одинаково».

Шын мәнінде

Коэффициент описывает набор проницаемостей, но не их расположение. В пласте с выдержанными прослоями вода идёт послойно и прорывается рано; в мелкой случайной мозаике неоднородность во многом осредняется.

Қате

« $k_v/k_h$ пласта — 0,5: так показали пары вертикальных и горизонтальных образцов».

Шын мәнінде

Образцы описывают масштаб сантиметров. Вертикальную проницаемость пачки определяют тонкие глинистые прослои, которых в образцах обычно нет; на масштабе пласта отношение может быть в сотни раз меньше.

Қате

«Геометрическое среднее — универсальное среднее для неоднородного пласта».

Шын мәнінде

Оно точно лишь для двумерного потока в случайной изотропной мозаике. Вдоль выдержанных слоёв работает арифметическое среднее, поперёк — гармоническое, а в трёхмерной мозаике эквивалентная проницаемость выше геометрического среднего.

Толық: тереңдетілген

Откуда логарифмические веса

При установившемся притоке через каждую зону проходит один и тот же расход $q$ . В зоне $j$ по формуле Дюпюи (радиальный приток) перепад давления $p_j - p_{j-1} = \dfrac{q\mu}{2\pi k_jh}\ln\dfrac{r_j}{r_{j-1}}$ . Сложив перепады всех зон, получим $p_e - p_w = \dfrac{q\mu}{2\pi h}\sum_j \dfrac{\ln(r_j/r_{j-1})}{k_j}$ . Однородный пласт с проницаемостью $\bar k$ даёт тот же расход при $p_e - p_w = \dfrac{q\mu}{2\pi \bar k h}\ln\dfrac{r_e}{r_w}$ ; приравняв, получаем формулу основного раздела.

С одной внутренней зоной проницаемостью $k_s$ радиусом $r_s$ в пласте проницаемостью $k$ сумма равна $[\ln(r_e/r_w) + S]/k$ , где $S = (k/k_s - 1)\ln(r_s/r_w)$ — скин-фактор Хокинса. Средняя проницаемость и скин — два способа сказать одно и то же: первый удобен, когда изменённая зона велика, второй — когда она тонкая.

Степенное среднее и размерность потока

Три средних — частные случаи одного семейства.

Степенное среднее проницаемости

k_\omega = \left(\frac{\sum_i w_ik_i^{\,\omega}}{\sum_i w_i}\right)^{1/\omega}

мұндағы:

$k_\omega$ степенное среднее с показателем $\omega$ , мД
$k_i,\ w_i$ проницаемость участка и его вес (объём или толщина), мД, —
$\omega$ показатель: 1 — арифметическое, −1 — гармоническое; при $\omega \to 0$ получается геометрическое среднее, —

Бірліктер: проницаемости — в любых одинаковых единицах

Мына жағдайда орындалады

показатель $\omega$ — эмпирический параметр расположения участков: его подбирают расчётом течения на детальной модели;
для логнормальной проницаемости $k_\omega = k_Ge^{\omega\sigma^2/2}$ .

Последнее равенство следует из того, что у логнормальной величины среднее $k^{\omega}$ равно $e^{\omega\mu + \omega^2\sigma^2/2}$ , где $\mu$ — среднее $\ln k$ . Чем больше $\omega$ , тем сильнее среднее определяют высокопроницаемые участки.

Для изотропной случайной логнормальной среды показатель зависит от размерности потока $d$ приближённо как $\omega \approx 1 - 2/d$ : $-1$ для цепочки участков, $0$ для плоского потока — здесь результат точный — и около $1/3$ для объёмного, что и даёт $k_Ge^{\sigma^2/6}$ . Если участки вытянуты, показатель для потока вдоль длинной оси растёт к единице, а поперёк — убывает к $-1$ : так корреляция порождает анизотропию эквивалентной проницаемости. Подбор показателя и другие способы найти эквивалентную проницаемость ячейки модели — тема урока Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке.

Кривая Лоренца логнормальной проницаемости

Пусть пористость одинакова, а $\ln k$ распределён нормально со средним $\mu$ и отклонением $\sigma$ . Возьмём все прослои с проницаемостью выше порога $k^*$ и обозначим $z^* = (\ln k^* - \mu)/\sigma$ . Их доля ёмкости $C = 1 - \Phi(z^*)$ . Доля проводимости — доля суммы $k$ , приходящаяся на них; для логнормальной величины она равна $1 - \Phi(z^* - \sigma)$ . Исключив $z^*$ , получим кривую $F = \Phi\bigl(\Phi^{-1}(C) + \sigma\bigr)$ .

Площадь под кривой равна вероятности того, что одна стандартная нормальная величина меньше другой, увеличенной на $\sigma$ : $\Phi(\sigma/\sqrt{2})$ . Отсюда $L_c = 2\Phi(\sigma/\sqrt{2}) - 1$ . При $\sigma \to 0$ кривая сливается с диагональю, при $\sigma \to \infty$ — прижимается к левой и верхней сторонам квадрата, и $L_c \to 1$ .

Насколько точны меры неоднородности по малой выборке

Есептеу мысалыТочность

V_{DP}

по десяти и пятидесяти образцам

Бастапқы деректер (шартты)

Пласт: логнормальная проницаемость, $V_{DP}$ = 0,70, то есть $\sigma$ = 1,204
Выборки: 10 и 50 независимых образцов
Квантили распределения χ² (таблицы): 9 степеней свободы: 3,325 (5 %) и 16,919 (95 %); 49 степеней свободы: 33,93 и 66,34

Шешім

Выборочное стандартное отклонение логарифма $s$ связано с истинным: величина $(n - 1)s^2/\sigma^2$ распределена как χ² с $n - 1$ степенями свободы. Поэтому в 90 % выборок $s$ лежит между $\sigma\sqrt{\chi^2_{5\%}/(n - 1)}$ и $\sigma\sqrt{\chi^2_{95\%}/(n - 1)}$ .
10 образцов: $s$ от $1{,}204\sqrt{3{,}325/9} = 0{,}732$ до $1{,}204\sqrt{16{,}919/9} = 1{,}651$ ; $V_{DP} = 1 - e^{-s}$ от 0,52 до 0,81.
50 образцов: $s$ от $1{,}204\sqrt{33{,}93/49} = 1{,}002$ до $1{,}204\sqrt{66{,}34/49} = 1{,}401$ ; $V_{DP}$ от 0,63 до 0,75.

Жауап: По десяти независимым образцам

V_{DP}

пласта с истинным значением 0,70 в 90 % случаев получится от 0,52 до 0,81, по пятидесяти — от 0,63 до 0,75.

Бұл нені білдіреді. Второй знак $V_{DP}$ , вычисленного по десятку образцов, ничего не значит; пятьдесят образцов сужают диапазон примерно в два с половиной раза. Если образцы взяты чаще, чем вертикальная длина корреляции, они не независимы, и настоящий диапазон шире рассчитанного. Данные примера условные.

Басқа тақырыптармен байланыс

Проницаемость горных пород — закон Дарси и осреднение проницаемости слоёв при линейном потоке.
Описательная статистика в геологии — три средних, коэффициент вариации и построение кривой Лоренца.
Распределения и достаточность выборки — логнормальное распределение, вероятностный график и определение $V_{DP}$ .
Лабораторный анализ керна — как сравнивать керн, каротаж и исследования скважин разного масштаба.
Скин-фактор — изменённая зона у скважины как частный случай кольцевых зон.
Конусообразование воды и газа — почему для конусов так важно отношение $k_v/k_h$ .
Зачем закачивают воду: поддержание давления и вытеснение нефти — почему неоднородность определяет охват пласта заводнением.
Вытеснение в неоднородных пластах — расчёт вытеснения в слоистых пластах.
Пространственная корреляция и вариограмма — количественное описание пространственной корреляции.
Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — эквивалентная проницаемость ячеек гидродинамической модели.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Скважина без скин-фактора вскрывает два слоя с общим давлением на внешней границе: 4 м проницаемостью 150 мД и 10 м проницаемостью 15 мД. Какую долю притока даёт каждый слой и какая проницаемость определяет приток скважины?
Жауабын көрсету
Слои работают параллельно, и приток каждого пропорционален $kh$ : 600 и 150 мД·м. Первый слой даёт $600/750 = 80$ % притока при 29 % толщины. Приток скважины определяет арифметическое среднее с весом толщин: $750/14 \approx 53{,}6$ мД. Сообщаются ли слои по вертикали, не важно: давление в них распределено одинаково, и перетекать между ними нечему.
2
Скважина радиусом 0,1 м окружена зоной радиусом 2 м, проницаемость которой снижена до 10 мД; пласт — 100 мД, внешняя граница области питания — 300 м. Найдите среднюю проницаемость для установившегося притока и сравните с расчётом через скин-фактор.
Жауабын көрсету
$\bar k = \ln 3000/(\ln 20/10 + \ln 150/100) = 8{,}006/(0{,}2996 + 0{,}0501) = 8{,}006/0{,}3497 \approx 22{,}9$ мД. Через скин: $S = (100/10 - 1)\ln 20 \approx 27{,}0$ ; $\bar k = 100\cdot8{,}006/(8{,}006 + 27{,}0) \approx 22{,}9$ мД — то же. Зона радиусом всего 2 м снизила приток больше чем вчетверо.
3
У двух пластов $V_{DP}$ = 0,75. В первом прослои прослеживаются между всеми скважинами, во втором участки разной проницаемости перемешаны мелко и случайно. Что верно?
1. А.Для мозаичного пласта $V_{DP}$ не определён
2. Б.Во втором пласте вода прорвётся раньше
3. В.В первом поток вдоль пласта описывает арифметическое среднее, а вода пойдёт по лучшим прослоям; во втором эквивалентная проницаемость ближе к геометрическому среднему, и неоднородность во многом осредняется
4. Г.Они поведут себя одинаково: неоднородность одна и та же
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. В первом поток вдоль пласта описывает арифметическое среднее, а вода пойдёт по лучшим прослоям; во втором эквивалентная проницаемость ближе к геометрическому среднему, и неоднородность во многом осредняется
$V_{DP}$ зависит только от набора проницаемостей, а работа пласта — ещё и от расположения участков. Выдержанные прослои дают послойное течение и ранний прорыв воды по лучшему из них; мелкая случайная мозаика осредняется на расстоянии между скважинами.
4
Логарифм проницаемости пласта распределён нормально, $\sigma_{\ln k} = 1{,}5$ . Во сколько раз среднее арифметическое больше гармонического? Чему равны $V_{DP}$ и $L_c$ ?
Жауабын көрсету
$\bar k_{\text{ар}}/\bar k_{\text{гарм}} = e^{1{,}5^2} = e^{2{,}25} \approx 9{,}5$ . $V_{DP} = 1 - e^{-1{,}5} \approx 0{,}78$ . $L_c = 2\Phi(1{,}5/1{,}414) - 1 = 2\Phi(1{,}06) - 1 \approx 2\cdot0{,}855 - 1 \approx 0{,}71$ .
5
Пачка толщиной 30 м, расстояние между нагнетательной и добывающей скважинами 600 м, $k_v/k_h$ = 0,0025. Чему равно $R_L$ и что оно говорит?
Жауабын көрсету
$R_L = (600/30)\sqrt{0{,}0025} = 20\cdot0{,}05 = 1{,}0$ . Выравнивание давления по толщине идёт примерно с той же скоростью, что и на расстоянии между скважинами: слои сообщаются частично. Ни модель независимых слоёв, ни допущение о мгновенном вертикальном выравнивании здесь не годятся — нужен расчёт с перетоками между слоями.
6
Горизонтальная длина корреляции проницаемости — около 20 м, расстояние между скважинами — 500 м. Какой моделью пласта разумно пользоваться для оценки притока?
1. А.Однородной с одной эквивалентной проницаемостью — между геометрическим и арифметическим средними
2. Б.Слоистой: у каждого прослоя своя проницаемость, среднее — арифметическое
3. В.Гармоническим средним всех образцов
4. Г.Наибольшей проницаемостью по керну
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Однородной с одной эквивалентной проницаемостью — между геометрическим и арифметическим средними
Между скважинами укладываются десятки независимых участков, и их различия осредняются: пласт ведёт себя как мелкая мозаика. Где именно между средними окажется эквивалентная проницаемость, зависит от формы участков: для изометричных она близка к геометрическому среднему (в трёхмерном потоке — немного выше), для вытянутых вдоль напластования при притоке вдоль пласта — ближе к арифметическому. Слоистая модель нужна, когда прослои прослеживаются от скважины к скважине, то есть когда длина корреляции больше расстояния между ними.

Жаңартылған: 19 октября 2026 г.