Схемы IMPES и полностью неявная

Қысқаша негізгісі

В двухфазных уравнениях ячеек перетоки зависят от давлений и — круто, через относительные фазовые проницаемости, — от насыщенностей. Схема по времени решает, значения какого момента подставлять: конца шага (неявно) или начала (явно).
IMPES: подвижности — по насыщенностям начала шага, давления — неявно, одной линейной системой с одним неизвестным на ячейку; насыщенности — явно, по новым перетокам. Баланс воды при этом выполняется точно.
Явный пересчёт насыщенности устойчив, пока число Куранта ячейки $C = \Delta t\,Q\,f_w'/V_p$ не больше единицы. Предел шага пропорционален поровому объёму ячейки и обратно пропорционален расходу через неё — его задают мелкие ячейки у скважин и ячейки в зоне фронта.
Полностью неявная схема устойчива при любом шаге. Нелинейную систему для всех неизвестных решают методом Ньютона: невязки заменяют их линейной частью и решают линейную систему с разреженным якобианом; вблизи решения число верных знаков удваивается за итерацию.
При крупном шаге метод Ньютона может не сойтись: кривая доли воды S-образна, и касательная уводит итерацию за корень. Поправки ограничивают, а если итерации не сходятся — шаг сокращают.
Устойчивость не заменяет точности: крупный неявный шаг размывает фронт. Шаг выбирают по целевым изменениям насыщенности и давления; последовательная и адаптивная неявные схемы — компромиссы между IMPES и полностью неявной схемой.

Негізгі қатынастар

V_{p,i}\,c_{t,i}^{n}\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}^{n}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) - q_{t,i},\qquad a_{ij}^{n} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{t,ij}^{n}

IMPES: уравнение давления с подвижностями начала шага

C_i = \frac{\Delta t\,Q_i\,f_w'}{V_{p,i}} \le 1

условие Куранта для явного пересчёта насыщенности

\mathbf{J}\,\delta\mathbf{x} = -\mathbf{R},\qquad \mathbf{x}^{(\nu+1)} = \mathbf{x}^{(\nu)} + \delta\mathbf{x}

итерация Ньютона: якобиан, невязки, поправка неизвестных

f_w' = \frac{f_w\,(1 - f_w)}{1 - S_{wi} - S_{or}}\left(\frac{n_w}{S_n} + \frac{n_o}{1 - S_n}\right)

наклон кривой доли воды для модели Кори

\Delta t^{n+1} = \Delta t^{n}\cdot\min\!\left(\frac{\Delta S_{\text{цел}}}{\max|\Delta S|},\ \frac{\Delta p_{\text{цел}}}{\max|\Delta p|}\right)

выбор следующего шага по целевым изменениям за шаг

Жиі қателіктер

Считать предел шага IMPES свойством всей модели: его задаёт одна ячейка с наибольшим расходом на единицу порового объёма, и он меняется вместе с насыщенностями.
Повторять шаг IMPES с уточнёнными подвижностями в надежде обойти предел: такие простые итерации сходятся, только если число Куранта меньше единицы.
Ослаблять допуски сходимости, чтобы ускорить расчёт: несошедшиеся итерации нарушают баланс массы.
Считать сошедшиеся итерации Ньютона признаком точного решения: остаются погрешности шага и сетки.
Брать крупный неявный шаг на быстрых процессах — подходе фронта к скважине, пуске и остановке скважин — без проверки чувствительности к шагу.

Сабақтан кейін сіз

записать шаг схемы IMPES для двухфазных уравнений ячеек — неявное уравнение давления с подвижностями начала шага и явный пересчёт насыщенности — и проверить баланс воды;
вывести условие устойчивости явного пересчёта насыщенности (условие Куранта), найти по нему предельный шаг для ячеек модели и объяснить, почему его задают ячейки у скважин и в зоне фронта;
записать невязки уравнений ячеек полностью неявной схемы, объяснить устройство якобиана и выполнить итерации Ньютона с проверкой сходимости;
объяснить, почему метод Ньютона при крупном шаге может не сойтись и как его защищают, и отличать сходимость итераций от точности результата;
выбирать шаг по времени по целевым изменениям насыщенности и давления и по ходу итераций;
описать последовательную и адаптивную неявные схемы и выбирать схему для задачи.

Что делает шаг по времени трудным

Уравнения ячеек для двух фаз записаны в уроке об уравнениях двухфазной фильтрации: для каждой ячейки — баланс нефти и баланс воды, а переток фазы через грань равен проводимости, умноженной на подвижность фазы в ячейке выше по потоку и на разность потенциалов фазы. Неизвестных в ячейке два — давление нефти $p_o$ и водонасыщенность $S_w$ . Открытым остался вопрос, который в однофазной задаче решался выбором между явной и неявной схемами (шаг по времени): значения какого момента — начала или конца шага — подставлять в перетоки?

Здесь вопрос двойной. Перетоки зависят от давлений — линейно — и от насыщенностей — через относительные фазовые проницаемости (ОФП), а эта зависимость крутая: в середине двухфазной зоны изменение водонасыщенности на пять сотых меняет ОФП воды и нефти в полтора-два раза, а у её краёв — в несколько раз. Поэтому возможны разные сочетания: давления конца шага с подвижностями начала, всё по концу шага, неявно — только часть ячеек. На этих сочетаниях построены схемы, которые применяют симуляторы.

Схемы шага по времени для уравнений многофазной фильтрации

Схема: IMPES
Давление: конец шага
Насыщенности в перетоках: начало шага; затем явный пересчёт
Шаг ограничивает: условие Куранта

Схема: последовательная неявная
Давление: конец шага
Насыщенности в перетоках: конец шага при известных суммарных потоках
Шаг ограничивает: точность

Схема: полностью неявная
Давление: конец шага
Насыщенности в перетоках: конец шага, вместе с давлением
Шаг ограничивает: точность и сходимость итераций

Схема: адаптивная неявная
Давление: конец шага
Насыщенности в перетоках: конец шага в части ячеек, начало — в остальных
Шаг ограничивает: условие Куранта в явных ячейках

Схема	Давление	Насыщенности в перетоках	Шаг ограничивает
IMPES	конец шага	начало шага; затем явный пересчёт	условие Куранта
последовательная неявная	конец шага	конец шага при известных суммарных потоках	точность
полностью неявная	конец шага	конец шага, вместе с давлением	точность и сходимость итераций
адаптивная неявная	конец шага	конец шага в части ячеек, начало — в остальных	условие Куранта в явных ячейках

Давление в многофазной модели почти всегда считают неявно: у мелких ячеек явный расчёт давления ограничен шагом порядка секунд и минут (почему давление считают неявно). Схемы различаются тем, как обращаются с насыщенностями.

Аналогия: цепочка с вёдрами

Явный пересчёт насыщенности похож на передачу вёдер по цепочке людей: за один такт ведро переходит только к соседу, и каждый решает, сколько отдать, глядя лишь на то, что у него сейчас. Если за такт воды приходит больше, чем человек успевает передать, он переполняется — так ведёт себя явная схема при слишком крупном шаге. Неявная схема похожа на план, согласованный сразу для всей цепочки на конец такта: переполнения нет, но согласование требует переговоров — итераций. Аналогия неполна: в модели «переполнение» не теряет воду — баланс сохраняется, — а даёт нефизичные насыщенности.

IMPES: давление неявно, насыщенность явно

Схема IMPES делит шаг на две части. Сначала по насыщенностям начала шага вычисляют подвижности фаз на гранях — против потока, как в двухфазном уроке, — и «замораживают» их на весь шаг. С известными подвижностями уравнение давления — сумма балансов фаз с весами объёмных коэффициентов (уравнение давления) — становится линейным и устроено так же, как однофазное: в коэффициенте связи вместо $1/\mu$ стоит суммарная подвижность (суммарная подвижность).

IMPES: уравнение давления ячейки с подвижностями начала шага

V_{p,i}\,c_{t,i}^{n}\,\frac{p_i^{n+1} - p_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j a_{ij}^{n}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) - q_{t,i},\qquad a_{ij}^{n} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{t,ij}^{n}

мұндағы:

$p_i^{n},\ p_i^{n+1}$ давление нефти в ячейке в начале и в конце шага, МПа
$V_{p,i}$ поровый объём ячейки; $V_{p,i}c_{t,i}^{n}$ — её упругая ёмкость при насыщенностях начала шага, как в однофазном уроке, м³
$c_{t,i}^{n}$ общая сжимаемость $S_oc_o + S_wc_w + c_f$ в начале шага, 1/МПа
$a_{ij}^{n}$ коэффициент связи ячеек $i$ и $j$ при подвижностях начала шага, м³/(сут·МПа)
$\lambda_{t,ij}^{n}$ суммарная подвижность на грани на единицу проницаемости, $(k_{ro}/\mu_o)_\uparrow + (k_{rw}/\mu_w)_\uparrow$ : каждая фаза — из своей ячейки выше по потоку, 1/(мПа·с)
$T_{ij}$ проводимость связи (геометрическая часть с абсолютной проницаемостью), мД·м
$q_{t,i}$ отбор жидкости скважиной в пластовых условиях (при закачке отрицателен), м³/сут

Бірліктер: метрические промысловые: $T$ в мД·м, $\mu$ в мПа·с, $p$ в МПа, $t$ в сут, объёмы в пластовых условиях; 0,0853 — постоянная закона Дарси

Мына жағдайда орындалады

подвижности и сжимаемости взяты по значениям начала шага, поэтому уравнение линейно относительно давлений конца шага;
слабосжимаемые фазы, объёмные коэффициенты мало меняются за шаг; капиллярное давление и силу тяжести учитывают в правой части по значениям начала шага.

Это однофазное уравнение ячейки (уравнение ячейки) с коэффициентами, пересчитанными по насыщенностям начала шага. Его решают так же — одной системой для всех ячеек с одним неизвестным на ячейку. Если порода и флюиды несжимаемы, левая часть исчезает: давление мгновенно подстраивается под отборы и закачку.

Затем по новым давлениям находят перетоки воды — с подвижностью воды начала шага из ячейки выше по потоку — и пересчитывают водонасыщенность каждой ячейки отдельно, без системы уравнений:

IMPES: явный пересчёт водонасыщенности

V_{p,i}\,\frac{(S_w/B_w)_i^{n+1} - (S_w/B_w)_i^{n}}{\Delta t} = \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{rw}}{\mu_w B_w}\right)_{\!\uparrow}^{\!n}\left(p_j^{n+1} - p_i^{n+1}\right) - q_{w,i}

мұндағы:

$V_{p,i}$ поровый объём ячейки, м³
$S_w,\ B_w$ водонасыщенность и объёмный коэффициент воды; $B_w$ конца шага — по новому давлению, —, м³/м³
$\left(k_{rw}/(\mu_w B_w)\right)_\uparrow^{n}$ подвижность воды начала шага из ячейки выше по потоку, 1/(мПа·с)
$p_j^{n+1} - p_i^{n+1}$ разность давлений конца шага, МПа
$q_{w,i}$ отбор воды скважиной в стандартных условиях; доля воды в нём — по подвижностям начала шага, м³/сут

Бірліктер: метрические промысловые, как в уравнении давления; объёмы воды — в стандартных условиях

Мына жағдайда орындалады

без капиллярного давления и силы тяжести; с ними вместо разности давлений ставят разность потенциалов воды $\Phi_w = p_o - p_c - \gamma_w D$ ;
поровый объём на шаге постоянен;
нефтенасыщенность находят из $S_o = 1 - S_w$ ; при сжимаемых фазах линеаризация уравнения давления оставляет небольшую погрешность баланса нефти.

В правой части всё известно, и каждую ячейку пересчитывают отдельно. Переток через грань входит в уравнения двух соседних ячеек с противоположными знаками, поэтому баланс воды по всей модели выполняется точно при любом шаге — как баланс массы в однофазном уроке.

Пример урока о двухфазных уравнениях — шаг 200 сут заводнения полосы из четырёх ячеек — и есть один шаг IMPES для несжимаемого случая: перепады давления найдены по суммарной подвижности начала шага, перетоки воды — по долям воды ячеек выше по потоку, насыщенности — явно. Дальше в этом уроке та же полоса с теми же кривыми ОФП служит для проверки обеих схем. Порода и флюиды несжимаемы, поэтому суммарный расход через каждую грань известен заранее — 25,5 м³/сут в пластовых условиях, — и баланс воды ячейки за шаг принимает простой вид:

IMPES на одномерной полосе с заданной закачкой

S_i^{n+1} = S_i^{n} + K\left[f_w\!\left(S_{i-1}^{n}\right) - f_w\!\left(S_i^{n}\right)\right],\qquad K = \frac{\Delta t\,q_t}{V_p}

мұндағы:

$S_i$ водонасыщенность ячейки $i$ , —
$f_w$ доля воды в потоке $\lambda_w/\lambda_t$ ; для первой ячейки вместо $f_w(S_0)$ — закачиваемая вода, $f_w = 1$ , —
$q_t$ суммарный расход через каждую грань в пластовых условиях, м³/сут
$V_p$ поровый объём ячейки, м³
$K$ доля порового объёма ячейки, которую суммарный поток проходит за шаг, —

Бірліктер: $\Delta t$ в сут, $q_t$ в м³/сут, $V_p$ в м³

Мына жағдайда орындалады

одномерный горизонтальный поток от ячейки 1 к последней; несжимаемые порода и флюиды; закачка с заданным расходом;
без капиллярного давления и силы тяжести; доля воды на грани — из ячейки выше по потоку.

Новая насыщенность — старая плюс разность долей воды на входе и выходе, умноженная на $K$ . Давления в эту запись не входят: в одномерной несжимаемой задаче они не влияют на перенос насыщенности, а определяют приёмистость скважин (её разбирает урок о двухфазных уравнениях).

Предел шага IMPES: условие Куранта

Почему явный пересчёт насыщенности нельзя делать сколь угодно крупным шагом? Разность долей воды на входе и выходе ячейки можно записать через наклон кривой: она равна наклону $f_w'$ при какой-то насыщенности $\tilde S$ между насыщенностями ячейки и её соседа выше по потоку, умноженному на разность этих насыщенностей. Тогда новая насыщенность ячейки — смесь её старой насыщенности и насыщенности соседа:

Явный пересчёт как смесь насыщенностей ячейки и соседа

S_i^{n+1} = \left[1 - K f_w'(\tilde S)\right]S_i^{n} + K f_w'(\tilde S)\,S_{i-1}^{n}

мұндағы:

$\tilde S$ насыщенность между $S_i^n$ и $S_{i-1}^n$ , в которой наклон кривой равен наклону хорды (теорема о среднем), —
$f_w'$ наклон кривой доли воды $\dd f_w/\dd S_w$ , —
$K$ $\Delta t\,q_t/V_p$ , как в уравнении IMPES для полосы, —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

точная перегруппировка уравнения IMPES для полосы; $\tilde S$ неизвестна, но лежит между насыщенностями ячейки и соседа.

Пока вес $Kf_w'$ не больше единицы, оба веса неотрицательны, и новая насыщенность лежит между старой и насыщенностью соседа: расчёт не может «перескочить» через соседа и выйти за физические пределы. Это то же рассуждение, что для явной схемы давления в однофазном уроке.

Отсюда условие устойчивости явного пересчёта — условие Куранта — Фридрихса — Леви (Courant–Friedrichs–Lewy, CFL, условие Куранта). Для ячейки с несколькими соседями и скважинами вместо $q_t$ берут весь входящий в неё расход.

Условие Куранта для явного пересчёта насыщенности

C_i = \frac{\Delta t\,Q_i\,f_w'}{V_{p,i}} \le 1\quad\Longrightarrow\quad \Delta t \le \min_i \frac{V_{p,i}}{Q_i\,f_w'}

мұндағы:

$C_i$ число Куранта ячейки: какую долю ячейки проходит насыщенность за шаг, —
$Q_i$ суммарный расход, входящий в ячейку от соседей и скважин, в пластовых условиях, м³/сут
$f_w'$ наибольший наклон кривой доли воды между насыщенностью ячейки и насыщенностями соседей выше по потоку; для гарантии при любых насыщенностях — наибольший на всей кривой, —
$V_{p,i}$ поровый объём ячейки, м³
$\Delta t$ шаг по времени, сут

Бірліктер: любые согласованные: $Q$ в м³/сут, $V_p$ в м³, $\Delta t$ в сут

Мына жағдайда орындалады

достаточное условие для взвешивания против потока при несжимаемом течении; капиллярное давление и сила тяжести добавляют свои ограничения (дополнительный раздел);
в одномерной полосе $Q_i = q_t$ , в двух и трёх измерениях — сумма входящих расходов;
при заметно большем шаге расчёт теряет монотонность: насыщенности колеблются от ячейки к ячейке и выходят за физические пределы.

Величина $f_w'u_t/\phi$ — скорость, с которой перемещается насыщенность; условие требует, чтобы за шаг она проходила не больше одной ячейки. Это то же число Куранта, что в уроке о численной диффузии, но со скоростью насыщенности. Предел пропорционален поровому объёму ячейки и обратно пропорционален расходу через неё — линейно зависит от размера ячейки, а не от его квадрата, как у явной схемы давления.

Наклон кривой доли воды для модели Кори удобно считать по готовой формуле. Её получают дифференцированием $f_w = \lambda_w/(\lambda_w + \lambda_o)$ с учётом того, что $\lambda_o\lambda_w/\lambda_t^2 = f_w(1 - f_w)$ :

Наклон кривой доли воды для модели Кори

f_w' = \frac{\dd f_w}{\dd S_w} = \frac{f_w\,(1 - f_w)}{1 - S_{wi} - S_{or}}\left(\frac{n_w}{S_n} + \frac{n_o}{1 - S_n}\right)

мұндағы:

$f_w$ доля воды в потоке $\lambda_w/\lambda_t$ (без силы тяжести и капиллярного давления), —
$S_n$ нормированная водонасыщенность $(S_w - S_{wi})/(1 - S_{wi} - S_{or})$ , —
$S_{wi},\ S_{or}$ неснижаемая водонасыщенность и остаточная нефтенасыщенность, —
$n_w,\ n_o$ показатели Кори для воды и нефти, —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

модель Кори (урок об ОФП); вязкости постоянны;
на концах подвижного интервала, где течёт одна фаза, наклон равен нулю.

Наклон мал там, где течёт почти одна фаза, и наибольший в двухфазной зоне — в точке перегиба кривой $f_w$ . Для кривых урока он достигает 5,22 при $S_w \approx 0{,}52$ (рисунок): насыщенности около этого значения переносятся быстрее всего, и ячейки, через которые они проходят, — в зоне фронта — ограничивают шаг.

ЕсептеуНаклон кривой доли воды

f_w'

для кривых ОФП урока Относительная проницаемость при вязкости нефти 1,2 мПа·с и воды 0,5 мПа·с и насыщенности ячеек полосы в начале шага 200 сут. Наибольший наклон — 5,22 при водонасыщенности около 0,52; он лежит между насыщенностями ячейки 3 (0,30) и её соседа выше по потоку, ячейки 2 (0,55), поэтому шаг полосы ограничивает ячейка 3.

Есептеу мысалыПредел шага IMPES: полоса и ячейка у скважины

Бастапқы деректер (шартты)

Полоса (уроки Уравнение давления для однофазной фильтрации и Уравнения двухфазной фильтрации): 4 ячейки, поровый объём каждой $V_p$ = 150 000 м³; суммарный расход через грани $q_t$ = 25,5 м³/сут в пластовых условиях
ОФП и флюиды: модель Кори: $S_{wi}$ = 0,22, $S_{or}$ = 0,25, $k_{ro}'$ = 0,85, $k_{rw}'$ = 0,25, $n_o$ = 2,5, $n_w$ = 3; $\mu_o$ = 1,2 мПа·с, $\mu_w$ = 0,5 мПа·с
Водонасыщенность ячеек 1–4 в начале шага: 0,70; 0,55; 0,30; 0,22 — начало шага 200 сут урока о двухфазных уравнениях
Ячейка у нагнетательной скважины трёхмерной модели: 10 × 10 м по площади, толщина 1,5 м, $\phi$ = 0,20; через неё проходит та же закачка

Шешім

Время, за которое суммарный поток проходит поровый объём ячейки: $V_p/q_t = 150\,000/25{,}5 = 5882{,}4$ сут.
Наклон $f_w'$ в ячейке 2 ( $S_w$ = 0,55): $S_n = 0{,}62264$ , $f_w = 0{,}66077$ ; множитель $f_w(1 - f_w)/0{,}53 = 0{,}42293$ , скобка $3/0{,}62264 + 2{,}5/0{,}37736 = 11{,}4432$ ; $f_w' = 4{,}840$ . Так же в ячейке 1 ( $S_w$ = 0,70) — 0,2902, в ячейке 3 ( $S_w$ = 0,30) — 0,1562; в ячейке 4 вода неподвижна, наклон равен нулю. Наибольший наклон на всей кривой — 5,218 при $S_w$ = 0,52.
В условии устойчивости наклон берут в неизвестной точке между насыщенностью ячейки и насыщенностью соседа выше по потоку, поэтому для гарантии — наибольший на этом интервале: ячейка 1 (от 0,70 до 0,75 — закачиваемая вода) — 0,2902; ячейка 2 (0,55–0,70) — 4,840; ячейка 3 (0,30–0,55, интервал содержит перегиб) — 5,218; ячейка 4 (0,22–0,30) — 0,1562.
Числа Куранта при шаге 200 сут, $C_i = 200\,f_w'/5882{,}4$ : 0,0099; 0,165; 0,177; 0,0053 — все много меньше единицы.
Предел шага каждой ячейки $5882{,}4/f_w'$ : около 20 300; 1215; 1127 и 37 700 сут. Шаг полосы сейчас ограничивает ячейка 3 — 1127 сут; это же и гарантия при любом положении фронта, $5882{,}4/5{,}218$ .
Ячейка у скважины: поровый объём $10\cdot10\cdot1{,}5\cdot0{,}20 = 30$ м³, предел $30/(25{,}5\cdot5{,}218) = 0{,}2255$ сут, то есть 5,4 ч. Прогноз на 30 лет при таком шаге — около 48,6 тыс. шагов.

Жауап: Шаг 200 сут на полосе устойчив с большим запасом (наибольшее число Куранта 0,177), предел — 1127 сут. У ячейки 30 м³ у скважины с тем же расходом предел — 5,4 ч.

Бұл нені білдіреді. Предел IMPES задаёт не пласт целиком, а одна ячейка — с наибольшим расходом на единицу порового объёма и с насыщенностями на крутом участке кривой $f_w$ . В крупных ячейках полосы он измеряется годами, у мелкой ячейки у скважины — часами: тридцатилетний прогноз потребовал бы десятков тысяч шагов, хотя в остальном пласте шаг мог бы быть в тысячи раз больше. Для давления явный предел у таких ячеек — секунды (почему давление считают неявно); предел для насыщенности мягче — он пропорционален размеру ячейки, а не его квадрату, — поэтому IMPES и считает давление неявно, а насыщенность явно. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…расход через ячейку вдвое больше — предел шага вдвое меньше;
…ячейку разделить пополам по направлению потока — у каждой половины вдвое меньше поровый объём при том же расходе, и предел тоже вдвое меньше (у явной схемы для давления — вчетверо);
…нефть заметно вязче — кривая $f_w$ сдвигается к меньшим водонасыщенностям, и её наибольший наклон растёт: для кривых урока при вязкости нефти от 1 до 3 мПа·с он около 5,2, при 10 мПа·с — 5,7, при 30 мПа·с — 6,7, и предел шага уменьшается.

Есептеу мысалыШаг IMPES 3000 сут — выше предела

Бастапқы деректер (шартты)

Полоса, ОФП и начальное состояние: из предыдущего примера: $S_w$ = 0,70; 0,55; 0,30; 0,22; $V_p$ = 150 000 м³; $q_t$ = 25,5 м³/сут
Шаг: 3000 сут — в 2,7 раза больше гарантированного предела 1127 сут

Шешім

$K = 3000\cdot25{,}5/150\,000 = 0{,}51$ : за шаг через каждую ячейку проходит 51 % её порового объёма.
Доли воды в начале шага: 0,99481; 0,66077; 0,00364; 0 — как в уроке о двухфазных уравнениях.
Явный пересчёт: $S_1 = 0{,}70 + 0{,}51\cdot(1 - 0{,}99481) = 0{,}70265$ ; $S_2 = 0{,}55 + 0{,}51\cdot(0{,}99481 - 0{,}66077) = 0{,}72036$ ; $S_3 = 0{,}30 + 0{,}51\cdot(0{,}66077 - 0{,}00364) = 0{,}63514$ ; $S_4 = 0{,}22 + 0{,}51\cdot0{,}00364 = 0{,}22186$ .
Числа Куранта с наклонами предыдущего примера, $C_i = 0{,}51\,f_w'$ : 0,148; 2,47; 2,66; 0,080 — у ячеек 2 и 3 больше единицы.
Эталон — те же уравнения ячеек, рассчитанные с шагом 0,25 сут: через 3000 сут насыщенности 0,7025; 0,6268; 0,5654; 0,3828.
Баланс воды: сумма приращений насыщенности 0,51 равна $K$ — вся закачанная за шаг вода, $25{,}5\cdot3000 = 76\,500$ м³, осталась в полосе: доля воды в продукции взята по насыщенности ячейки 4 в начале шага, а она равна нулю.

Жауап: Явный шаг сделал ячейку 2 обводнённее ячейки 1, из которой в неё приходит вода (0,72036 против 0,70265), а в ячейку 4 вода почти не попала (0,22186 против 0,3828 в эталоне).

Бұл нені білдіреді. Пока профиль насыщенности монотонен — а при закачке с одного конца так и есть, — ячейка не может стать обводнённее соседа выше по потоку, который её питает. Значение 0,72036 — признак того, что шаг вышел за предел устойчивости: число Куранта ячейки 2 — 2,47. В балансе ошибка не видна — он выполнен точно, — её выдают только нефизичные насыщенности. Видно и второе свойство явной схемы: за шаг вода проходит не дальше соседней ячейки, сколько бы ни длился шаг, поэтому ячейка 4 осталась почти сухой. Если повторять такие шаги, насыщенности начинают колебаться от ячейки к ячейке и выходят за физические пределы (рисунок ниже). Данные примера условные.

ЕсептеуТа же полоса на сетке из 20 ячеек по 50 м (предел IMPES — 225 сут): водонасыщенность через 5400 сут закачки; точки — эталон, те же уравнения ячеек с шагом 0,25 сут. Вверху IMPES: с шагом 450 сут (

C \approx 2

) профиль идёт «пилой», с шагом 900 сут (

C \approx 4

) насыщенность 0,985 превышает предел

1 - S_{or}

= 0,75. Внизу полностью неявная схема с теми же шагами: профили гладкие, но фронт размыт и ушёл вперёд — тем дальше, чем больше шаг.

Полностью неявная схема: невязки и якобиан

В полностью неявной схеме в перетоки, подвижности и дебиты скважин подставляют значения конца шага — и давления, и насыщенности (полностью неявная схема). Уравнения ячеек становятся нелинейными относительно неизвестных: подвижности конца шага зависят от искомых насыщенностей. Их записывают как невязки (residuals) — разность левой и правой частей, которая в решении должна обратиться в ноль:

Невязка баланса фазы в ячейке (полностью неявная схема)

R_{\alpha,i} = V_{p,i}\,\frac{(S_\alpha/B_\alpha)_i^{n+1} - (S_\alpha/B_\alpha)_i^{n}}{\Delta t} - \sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\left(\frac{k_{r\alpha}}{\mu_\alpha B_\alpha}\right)_{\!\uparrow}^{\!n+1}\left(\Phi_{\alpha,j} - \Phi_{\alpha,i}\right)^{n+1} + q_{\alpha,i}^{n+1} = 0

мұндағы:

$R_{\alpha,i}$ невязка баланса фазы $\alpha$ в ячейке $i$ : насколько текущее приближение нарушает баланс, м³/сут (стандартные условия)
$\alpha$ фаза: $o$ — нефть, $w$ — вода, —
$\Phi_\alpha$ потенциал фазы $p_\alpha - \gamma_\alpha D$ ; давление воды $p_w = p_o - p_c(S_w)$ , МПа
$(\cdot)_\uparrow^{n+1}$ подвижность фазы конца шага из ячейки выше по потоку, 1/(мПа·с)
$q_{\alpha,i}^{n+1}$ отбор фазы скважиной, рассчитанный по давлению и подвижностям конца шага, м³/сут
$V_{p,i},\ T_{ij},\ \Delta t$ поровый объём ячейки, проводимость связи, шаг, м³, мД·м, сут

Бірліктер: метрические промысловые; объёмы фаз — в стандартных условиях

Мына жағдайда орындалады

то же уравнение ячейки, что в двухфазном уроке, — все величины правой части взяты в конце шага;
неизвестные ячейки — $p_o$ и $S_w$ , остальные величины выражают через замыкающие соотношения;
в модели чёрной нефти с газом в ячейке три уравнения и три неизвестных.

Для $N$ ячеек — $2N$ нелинейных уравнений с $2N$ неизвестными. Решение шага — набор давлений и насыщенностей, при котором все невязки равны нулю с заданной точностью. Тогда баланс каждой фазы в каждой ячейке выполнен по значениям конца шага, и схема устойчива при любом шаге.

Такую систему решают методом Ньютона (Newton's method, или метод Ньютона — Рафсона, метод Ньютона): невязки раскладывают в ряд Тейлора около текущего приближения, оставляют линейную часть и находят поправку, которая обращает её в ноль. Коэффициенты линейной части — частные производные невязок по неизвестным — образуют матрицу Якоби, или якобиан (Jacobian, матрица Якоби).

Итерация метода Ньютона для системы уравнений

\mathbf{J}\!\left(\mathbf{x}^{(\nu)}\right)\delta\mathbf{x} = -\mathbf{R}\!\left(\mathbf{x}^{(\nu)}\right),\qquad \mathbf{x}^{(\nu+1)} = \mathbf{x}^{(\nu)} + \delta\mathbf{x},\qquad J_{kl} = \frac{\partial R_k}{\partial x_l}

мұндағы:

$\mathbf{x}$ вектор неизвестных конца шага $(p_{o,1},\ S_{w,1},\ \ldots,\ p_{o,N},\ S_{w,N})$ , МПа, —
$\mathbf{R}$ вектор невязок всех уравнений, м³/сут
$\mathbf{J}$ матрица Якоби размером $2N \times 2N$ , в единицах невязок на единицу неизвестных
$\delta\mathbf{x}$ поправка неизвестных на итерации, МПа, —
$\nu$ номер итерации; начальное приближение $\mathbf{x}^{(0)}$ — значения начала шага или прогноз по предыдущим шагам, —

Бірліктер: в единицах невязок и неизвестных

Мына жағдайда орындалады

невязки — гладкие функции неизвестных; при взвешивании против потока производные меняются скачком, когда переток меняет направление;
на каждой итерации решают линейную систему; матрицу $\mathbf{J}$ не обращают.

Метод заменяет нелинейную систему последовательностью линейных. Вблизи решения он сходится квадратично: ошибка следующей итерации пропорциональна квадрату ошибки предыдущей — если она была порядка $10^{-3}$ , станет порядка $10^{-6}$ . Цена — на каждой итерации нужно вычислить все производные и решить линейную систему с $2N$ неизвестными.

Якобиан почти целиком состоит из нулей. Невязки ячейки зависят только от её неизвестных и от неизвестных соседей, с которыми у неё общие грани: в одномерной полосе — от трёх ячеек, в трёхмерной декартовой сетке — от семи. Паре «уравнения ячейки — неизвестные ячейки» соответствует блок 2 × 2, и в одномерной полосе матрица блочно-трёхдиагональная. Взвешивание против потока делает её несимметричной: насыщенность ячейки ниже по потоку не входит в подвижность на их общей грани, и без капиллярного давления производные перетока по ней равны нулю (рисунок; подробнее — в дополнительном разделе).

СызбаСтруктура якобиана полосы из четырёх ячеек при заводнении от ячейки 1 к ячейке 4, без капиллярного давления (схема): строки — балансы нефти и воды ячеек, столбцы — давление и насыщенность ячеек. Ненулевые элементы — только у самой ячейки и её соседей; от насыщенности соседа ниже по потоку балансы ячейки не зависят.

Якобиан не обращают

Запись $\delta\mathbf{x} = -\mathbf{J}^{-1}\mathbf{R}$ удобна на бумаге, но обратная матрица разреженной матрицы, как правило, заполнена почти целиком: через цепочку соседей каждая ячейка влияет на все остальные. Для модели в миллион ячеек это триллионы чисел. Поэтому на каждой итерации решают линейную систему $\mathbf{J}\,\delta\mathbf{x} = -\mathbf{R}$ прямыми или итерационными методами с предобусловливанием (Решение систем линейных уравнений в симуляторах); обычно на это уходит основная доля времени расчёта.

В одномерной несжимаемой задаче с заданной закачкой всё проще: суммарный расход через каждую грань известен, давления выпадают из балансов воды, и якобиан для насыщенностей становится нижнетреугольным — баланс ячейки зависит только от неё самой и от ячейки выше по потоку. Тогда уравнения решают по одному, по направлению потока: сначала ячейку 1, затем 2 и так далее. Невязку удобно отнести к поровому объёму ячейки — она становится безразмерной:

Неявный баланс воды ячейки полосы

R_i(S) = \left(S - S_i^{n}\right) - K\left[f_w\!\left(S_{i-1}^{n+1}\right) - f_w(S)\right] = 0,\qquad R_i'(S) = 1 + K f_w'(S)

мұндағы:

$S$ неизвестная водонасыщенность ячейки $i$ в конце шага, —
$R_i$ невязка баланса воды за шаг в долях порового объёма ячейки, —
$R_i'$ производная невязки по $S$ — якобиан размером 1 × 1, —
$K$ $\Delta t\,q_t/V_p$ , —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

одномерная полоса, несжимаемые порода и флюиды, закачка с заданным расходом; доля воды на грани — из ячейки выше по потоку;
ячейки решают по направлению потока: к моменту расчёта ячейки $i$ насыщенность $S_{i-1}^{n+1}$ уже найдена.

Производная $R'$ не меньше единицы: невязка монотонно растёт с $S$ , и корень единственный. Итерация Ньютона: $S^{(\nu+1)} = S^{(\nu)} - R/R'$ .

Итерации Ньютона и критерии сходимости

Графически итерация Ньютона — это касательная: кривую невязки в текущей точке заменяют касательной и берут точку, где касательная пересекает ноль. Если кривая между приближением и корнем не меняет направления изгиба, итерации подходят к корню всё быстрее. Но у кривой $f_w$ есть точка перегиба, и у невязки тоже: при малых водонасыщенностях кривая пологая, у перегиба — крутая. Касательная, проведённая в пологой части, уводит приближение далеко за корень, а оттуда следующая касательная отбрасывает обратно — итерации могут качаться, не сходясь.

ЕсептеуНевязка баланса воды ячейки 3 за шаг 3000 сут в зависимости от её водонасыщенности (пример ниже). Касательная в начальной точке 0,30 уводит итерацию Ньютона за корень к 0,715, следующая — обратно к 0,275: без ограничения итерации качаются. Если не пускать поправку через точку перегиба 0,52, следующие итерации сходятся к корню 0,512.

Есептеу мысалыТот же шаг 3000 сут полностью неявно: итерации Ньютона

Бастапқы деректер (шартты)

Полоса, состояние и шаг: как в примере о шаге IMPES 3000 сут; $K$ = 0,51
Невязка ячейки $i$: $R = (S - S_i^n) - 0{,}51\,[f_{\text{вх}} - f_w(S)]$ , $R' = 1 + 0{,}51\,f_w'(S)$ , где $f_{\text{вх}}$ — доля воды ячейки выше по потоку в конце шага
Сходимость: итерации ведём до $|R| < 10^{-12}$ , чтобы показать их ход; обычный допуск симулятора — порядка $10^{-3}$ , тысячной доли порового объёма ячейки

Шешім

Ячейки решают по направлению потока. Ячейка 1 ( $f_{\text{вх}}$ = 1) сходится за 3 итерации к 0,70232, ячейка 2 — за 5 к 0,608005. Приток в ячейку 3: $f_{\text{вх}} = f_w(0{,}608005) = 0{,}881721$ .
Ячейка 3, начальное приближение — насыщенность начала шага 0,30: $f_w$ = 0,00364, $f_w'$ = 0,1562. Невязка $R = -0{,}51\cdot(0{,}881721 - 0{,}00364) = -0{,}44782$ , производная $R' = 1{,}07966$ , поправка $0{,}44782/1{,}07966 = 0{,}41478$ ведёт к 0,71478.
Без ограничения итерация уходит за корень. При 0,71478: $f_w$ = 0,99802, $f_w'$ = 0,1521; невязка уже положительна, $R = 0{,}41478 - 0{,}51\cdot(0{,}881721 - 0{,}99802) = +0{,}4741$ , $R' = 1{,}0776$ , и следующая касательная возвращает к $0{,}71478 - 0{,}4741/1{,}0776 = 0{,}2748$ . Дальше 0,7347; 0,2489; 0,7460… — приближения качаются между ≈ 0,24 и ≈ 0,75, невязка остаётся около ±0,5: шаг не сходится.
С ограничением поправка не пересекает за одну итерацию точку перегиба $f_w$ , и приближение останавливается в ней, при 0,52180. Там $f_w$ = 0,51724, $f_w'$ = 5,2177: $R = (0{,}52180 - 0{,}30) - 0{,}51\cdot(0{,}881721 - 0{,}51724) = 0{,}0359$ , $R' = 3{,}6610$ , новое приближение $0{,}52180 - 0{,}0359/3{,}6610 = 0{,}51199$ .
При 0,51199: $f_w$ = 0,466210, $R = (0{,}51199 - 0{,}30) - 0{,}51\cdot(0{,}881721 - 0{,}466210) \approx 7{,}9\cdot10^{-5}$ — уже меньше обычного допуска $10^{-3}$ . Ещё одна итерация даёт 0,511968 и $|R| \sim 10^{-9}$ : показатель степени невязки примерно удваивается за итерацию — это квадратичная сходимость.
Ячейка 4: приток $f_w(0{,}511968) = 0{,}46610$ , решение 0,41097 за 5 итераций.
Баланс воды в пластовых условиях: приращения насыщенности в сумме 0,46326, то есть $150\,000\cdot0{,}46326 = 69\,489$ м³. Закачано 76 500 м³, добыто с долей воды ячейки 4 в конце шага $76\,500\cdot0{,}09165 = 7011$ м³, разность — 69 489 м³.
Сравнение с эталоном (те же уравнения ячеек с шагом 0,25 сут), с четырьмя знаками: эталон 0,7025; 0,6268; 0,5654; 0,3828, неявный шаг 0,7023; 0,6080; 0,5120; 0,4110 — отклонения −0,0002; −0,0188; −0,0534; +0,0282.

Жауап: Неявный шаг 3000 сут даёт 0,70232; 0,60801; 0,51197; 0,41097 — насыщенности убывают вниз по потоку, вода дошла до ячейки 4, баланс выполнен. В ячейке 3 метод Ньютона без ограничения не сходится, с ограничением сходится за 4 итерации до

10^{-12}

, а обычного допуска

10^{-3}

достигает уже за две.

Бұл нені білдіреді. Полностью неявная схема прошла шаг, на котором IMPES дал нефизичные насыщенности, — но устойчивость не означает точности. По сравнению с эталоном фронт размыт: ячейки 2 и 3 недонасыщены водой, а в ячейку 4 её пришло больше. Крупный неявный шаг как бы сразу распределяет закачку по всем ячейкам; ошибка убывает пропорционально шагу (первый порядок по времени), и как выбрать шаг по точности, разобрано ниже. Трудность метода Ньютона — не особенность примера: при показателях Кори больше единицы кривая $f_w$ S-образна, и при крупном шаге касательная из пологой части уводит итерацию за корень. Данные примера условные.

Симуляторы защищают метод Ньютона от таких колебаний несколькими приёмами: ограничивают изменение насыщенности за итерацию (например, величиной 0,1–0,2), не дают поправке пересечь точку перегиба кривой доли воды, уменьшают поправку, если невязка растёт. Если итерации всё же не сходятся за заданное число (обычно от десяти до двух десятков), шаг отбрасывают и повторяют меньшим. Когда же считать итерации сошедшимися? Обычно требуют, чтобы малыми стали невязки — и в каждой ячейке, и в сумме по модели:

Критерии сходимости итераций на шаге

\max_i\,\frac{\Delta t\,B_\alpha\left|R_{\alpha,i}\right|}{V_{p,i}} \le \varepsilon_R,\qquad \frac{\Delta t\,B_\alpha\left|\sum_i R_{\alpha,i}\right|}{\sum_i V_{p,i}} \le \varepsilon_{MB}

мұндағы:

$R_{\alpha,i}$ невязка баланса фазы $\alpha$ в ячейке $i$ после итерации, м³/сут (стандартные условия)
$B_\alpha$ объёмный коэффициент фазы: переводит невязку в пластовые объёмы, м³/м³
$\varepsilon_R$ допуск на наибольшую нормированную невязку — долю порового объёма ячейки, —
$\varepsilon_{MB}$ допуск на погрешность материального баланса фазы по всей модели, —

Бірліктер: безразмерные

Мына жағдайда орындалады

проверяют для каждой фазы; часто добавляют условие, что малы поправки последней итерации — по давлению и по насыщенности;
типичные порядки допусков: $\varepsilon_R$ — от $10^{-3}$ до $10^{-2}$ , $\varepsilon_{MB}$ — от $10^{-7}$ до $10^{-6}$ ; конкретные значения зависят от симулятора и задачи.

Первое условие — местное: ни в одной ячейке за шаг не «потеряно» и не «создано» больше заданной доли её порового объёма. Второе — общий баланс: суммарная ошибка мала по сравнению с поровым объёмом модели; его и печатают симуляторы как погрешность материального баланса.

Как выбирают шаг по времени

В схеме IMPES шаг сверху ограничивает условие Куранта. В полностью неявной схеме устойчивость шаг не ограничивает, и его выбирают по двум другим соображениям. Первое — точность: насыщенности и давления не должны меняться за шаг слишком сильно, иначе крупный неявный шаг размывает фронт и запаздывает за быстрыми изменениями. Второе — сходимость итераций: чем больше шаг, тем дальше начальное приближение от решения и тем труднее методу Ньютона. Простейший закон выбора шага масштабирует его по изменениям за прошедший шаг:

Выбор следующего шага по целевым изменениям

\Delta t^{n+1} = \Delta t^{n}\cdot\min\!\left(\frac{\Delta S_{\text{цел}}}{\max_i\left|\Delta S_i\right|},\ \frac{\Delta p_{\text{цел}}}{\max_i\left|\Delta p_i\right|}\right),\qquad \Delta t^{n+1} \le f_{\text{рост}}\,\Delta t^{n}

мұндағы:

$\Delta S_i,\ \Delta p_i$ изменения насыщенности и давления ячейки за прошедший шаг, —, МПа
$\Delta S_{\text{цел}},\ \Delta p_{\text{цел}}$ целевые изменения за шаг — настройки точности, —, МПа
$f_{\text{рост}}$ наибольший допустимый рост шага, обычно 2–3, —
$\Delta t^{n},\ \Delta t^{n+1}$ прошедший и следующий шаги, сут

Бірліктер: $\Delta t$ в сут, $p$ в МПа

Мына жағдайда орындалады

изменения за шаг примерно пропорциональны шагу — течение без резких событий;
шаг дополнительно ограничивают наибольшим и наименьшим значениями, датами отчётов и событиями в скважинах: после пуска, остановки или смены режима его начинают снова с малого.

Если за прошедший шаг насыщенность и давление изменились меньше целевого, следующий шаг увеличивают, если больше — уменьшают. Целевые изменения задают порядка нескольких сотых — десятых по насыщенности и порядка мегапаскаля по давлению; это настройки точности, и их проверяют расчётами с меньшими значениями.

Как симулятор проходит шаг

1
Предложить шаг
по закону выбора шага, с ограничениями роста, датами отчётов и событиями в скважинах.
2
Итерации Ньютона
невязки, якобиан, линейная система, поправки с ограничением; после каждой итерации — проверка критериев сходимости.
3
Не сошлось — сократить шаг
если итерации не сошлись за заданное число, шаг отбрасывают и повторяют в 2–10 раз меньшим.
4
Сошлось — проверить изменения
если изменения за шаг намного больше допустимых, шаг тоже повторяют меньшим.
5
Принять шаг
сохранить результаты, проверить баланс и предложить следующий шаг.

Есептеу мысалыКаким сделать следующий шаг

Бастапқы деректер (шартты)

Шаг 200 сут (урок о двухфазных уравнениях): наибольшее изменение водонасыщенности — 0,02234 в ячейке 3; после шага насыщенности 0,70018; 0,56136; 0,32234; 0,22012
Управление шагом (условно): целевое изменение насыщенности за шаг 0,05; рост шага — не более чем вдвое
Неявный шаг 3000 сут: из примера с итерациями Ньютона

Шешім

Пропорциональное правило: $200\cdot0{,}05/0{,}02234 = 448$ сут; рост ограничен вдвое, $2\cdot200 = 400$ сут, — следующий шаг 400 сут.
Если расчёт ведут по IMPES, проверяем устойчивость при новых насыщенностях. Наибольший наклон на интервалах — у ячейки 3: её интервал от 0,32234 до 0,56136 содержит перегиб, наклон 5,218. $C = 400\cdot5{,}218/5882{,}4 = 0{,}355 < 1$ — шаг 400 сут допустим.
Неявный шаг 3000 сут изменил насыщенность ячейки 3 на $0{,}5120 - 0{,}30 = 0{,}2120$ : правило предложило бы $3000\cdot0{,}05/0{,}2120 = 708$ сут — в 4,2 раза меньше.
Проверка по эталону: насыщенность ячейки 3 через 3000 сут — 0,5654. Один неявный шаг даёт 0,5120 (ошибка −0,0534), четыре шага по 750 сут — 0,5496 (ошибка −0,0158): в 3,4 раза меньше.

Жауап: После шага 200 сут следующий — 400 сут. Шаг 3000 сут устойчив, но слишком крупен для точности: правило выбрало бы около 708 сут, и с шагами 750 сут ошибка в ячейке 3 уменьшается в 3,4 раза.

Бұл нені білдіреді. Закон выбора шага следит за точностью, а не за устойчивостью: он увеличивает шаг, пока за шаг меняется немного, и уменьшает, когда процессы ускоряются — при подходе фронта к скважине, пуске и остановке скважин. Целевое изменение 0,05 здесь — условная настройка; её проверяют, повторяя расчёт с меньшим значением и сравнивая показатели, ради которых строится модель: добычу, обводнённость, время прорыва. Данные примера условные.

Когда модель «дробит» шаг

Сотни сокращений шага и десятки итераций Ньютона — признак не плохого симулятора, а трудного места в модели. Частые причины: ячейки с крошечным поровым объёмом и большим расходом (выклинивания, узкие ячейки у разломов), скважины, переключающиеся между режимами работы (режимы работы скважин), кривые ОФП и капиллярного давления с изломами и разрывами, резкие перепады свойств между соседними ячейками. Ослабление допусков сходимости ускоряет расчёт ценой погрешности баланса; надёжнее найти такое место и исправить его.

Последовательная и адаптивная неявные схемы

Последовательная неявная схема (sequential implicit) начинает шаг как IMPES: давление неявно, с подвижностями начала шага. По новым давлениям находят суммарные потоки через грани, а затем уравнения насыщенности решают неявно при этих потоках — методом Ньютона, но только для насыщенностей. Ограничение Куранта снимается, а системы уравнений меньше, чем в полностью неявной схеме: отдельно для давлений и для насыщенностей. Если давление и насыщенности связаны сильно — сжимаемый газ, сила тяжести, капиллярные перетоки, — два этапа повторяют на шаге до сходимости; тогда схема даёт то же решение, что и полностью неявная.

Адаптивная неявная схема (adaptive implicit method, AIM, адаптивная неявная схема) решает вопрос по ячейкам. Перед шагом для каждой ячейки оценивают число Куранта при предлагаемом шаге: там, где оно больше порога, — обычно у скважин и в зоне фронта, — насыщенности считают неявно, в остальных ячейках — явно, как в IMPES. В общей системе уравнений тогда одно неизвестное на явную ячейку и два (в модели чёрной нефти — три) на неявную. Набор неявных ячеек меняется от шага к шагу вместе с фронтом.

Есептеу мысалыКакие ячейки адаптивная схема считает неявно

Бастапқы деректер (шартты)

Полоса из 20 ячеек по 50 м: поровый объём ячейки 30 000 м³, расход 25,5 м³/сут; предел IMPES при любых насыщенностях — 225 сут
Состояние: через 5400 сут закачки (эталонный расчёт, рисунок выше)
Предлагаемый шаг: 450 сут — вдвое больше предела IMPES

Шешім

$K = 450\cdot25{,}5/30\,000 = 0{,}3825$ . Число Куранта ячейки — $K$ , умноженное на наибольший наклон $f_w'$ между её насыщенностью и насыщенностью соседа выше по потоку.
Больше единицы оно у ячеек 9–12 с водонасыщенностью 0,604; 0,583; 0,523; 0,299: $C$ = 1,08; 1,41; 2,00; 2,00 — их считают неявно. У соседних ячеек 8 и 13 $C$ = 0,89 и 0,06, у остальных ещё меньше — их считают явно.
Ячейка 12 стоит перед фронтом: по собственной насыщенности её число Куранта всего 0,06. Если выбирать неявные ячейки по собственным насыщенностям, она останется явной и после шага окажется обводнённее соседа выше по потоку: 0,579 против 0,566. С выбором по интервалу ячейки 11–13 получают 0,566; 0,473; 0,328 — почти как в полностью неявной схеме (0,567; 0,474; 0,325).
Неизвестных в системе шага сжимаемой модели: 20 давлений и 4 насыщенности — 24; в полностью неявной схеме — 40, в IMPES — 20, но с шагом не больше 225 сут.

Жауап: Неявно считают 4 ячейки из 20 — зону фронта и ячейку перед ним; система шага — 24 неизвестных вместо 40.

Бұл нені білдіреді. В одномерной полосе зона фронта — заметная доля ячеек; в трёхмерной модели фронты и окрестности скважин занимают малую часть объёма, и неявных ячеек ещё меньше. Пример показывает и главную тонкость: неявной должна стать не только ячейка с крутым наклоном сейчас, но и та, в которую за шаг придёт фронт. Поэтому критерий выбирают с запасом — например, по интервалу насыщенностей, как здесь, с порогом меньше единицы или с учётом соседей — и пересматривают на каждом шаге. Данные примера условные.

Сравнение схем

Схема: IMPES
Неизвестных в системе на ячейку: одно (давление)
Шаг ограничивает: условие Куранта
Где применяют: крупные ячейки, композиционные модели, линии тока

Схема: последовательная
Неизвестных в системе на ячейку: одно, затем насыщенности отдельно
Шаг ограничивает: точность; при сильной связи — внешние итерации
Где применяют: давление и перенос решают разными методами

Схема: полностью неявная
Неизвестных в системе на ячейку: две, с газом три, в композиционной — больше
Шаг ограничивает: точность и сходимость итераций
Где применяют: чёрная нефть, конусы, газ, зоны у скважин

Схема: адаптивная неявная
Неизвестных в системе на ячейку: одно или все — по ячейкам
Шаг ограничивает: условие Куранта в явных ячейках
Где применяют: композиционные и крупные модели

Схема	Неизвестных в системе на ячейку	Шаг ограничивает	Где применяют
IMPES	одно (давление)	условие Куранта	крупные ячейки, композиционные модели, линии тока
последовательная	одно, затем насыщенности отдельно	точность; при сильной связи — внешние итерации	давление и перенос решают разными методами
полностью неявная	две, с газом три, в композиционной — больше	точность и сходимость итераций	чёрная нефть, конусы, газ, зоны у скважин
адаптивная неявная	одно или все — по ячейкам	условие Куранта в явных ячейках	композиционные и крупные модели

Назначение схем — общая ориентировка; в промышленных симуляторах модели чёрной нефти основной вариант — полностью неявная или адаптивная неявная схема.

Какая схема выгоднее, зависит от задачи: от числа неизвестных в ячейке, числа ячеек, жёсткости ограничения Куранта у скважин и силы связи давления с насыщенностями. Работа на ячейку при полностью неявном расчёте растёт с числом неизвестных в ней быстрее, чем линейно (цена расчёта), поэтому в композиционных моделях с десятком компонентов выгодны схемы, где неявно считают меньше. Расчёт на линиях тока (линии тока) тоже по сути IMPES: давление на сетке — неявно, а перенос вдоль линий тока решают отдельно, что и позволяет брать крупные шаги. Размытие фронтов, которое добавляют крупные неявные шаги и сама сетка, разобрано в уроке Численная дисперсия.

Терминдер мен белгілер

Схема IMPES: давления всех ячеек — неявно, при подвижностях начала шага; насыщенности — явно, по новым перетокам. Шаг ограничен условием Куранта.
Полностью неявная схема: перетоки, подвижности и отборы — по значениям конца шага; нелинейная система для всех неизвестных решается методом Ньютона; устойчива при любом шаге.
Число Куранта $C$: $\Delta t\,Q\,f_w'/V_p$ : какую долю ячейки насыщенность проходит за шаг; явный пересчёт насыщенности устойчив при $C \le 1$ .
Невязка: насколько текущее приближение нарушает баланс фазы в ячейке; решение шага — набор неизвестных, при котором все невязки равны нулю с заданным допуском.
Якобиан: матрица частных производных невязок по неизвестным; разреженная, блочная, несимметричная из-за взвешивания против потока.
Метод Ньютона: итерации, на каждой из которых невязки заменяют их линейной частью и решают линейную систему с якобианом; вблизи решения сходятся квадратично.
Сокращение шага: повтор шага с меньшим $\Delta t$ , если итерации не сошлись или изменения за шаг слишком велики.
Последовательная неявная схема: давление неявно, затем насыщенности неявно при найденных суммарных потоках; при повторении этапов до сходимости даёт решение полностью неявной схемы.
Адаптивная неявная схема: полностью неявно — ячейки с числом Куранта больше порога, явно — остальные; набор неявных ячеек меняется от шага к шагу.

Жиі қателіктер

Қате

«Полностью неявная схема устойчива — значит, шаг можно брать любым».

Шын мәнінде

Устойчивость не даёт точности: в примере урока один неявный шаг 3000 сут ошибся в насыщенности ячейки 3 на пять сотых, а закон выбора шага взял бы шаг вчетверо меньше. Кроме того, при крупном шаге метод Ньютона хуже сходится, и симулятор начинает сокращать шаг.

Қате

«Если IMPES неустойчив, достаточно повторить шаг несколько раз с уточнёнными подвижностями».

Шын мәнінде

Повторение шага — это простые итерации; они сходятся, только если число Куранта меньше единицы. При шаге 3000 сут в примере урока они качаются между 0,24 и 0,75. Чтобы шагать дальше предела, нужен неявный расчёт насыщенности с производными — метод Ньютона.

Қате

«Предел шага IMPES задаёт давление, как у явной схемы для давления».

Шын мәнінде

Давление в IMPES считается неявно и шаг не ограничивает. Предел задаёт явный перенос насыщенности: он пропорционален поровому объёму ячейки и обратно пропорционален расходу через неё, поэтому его определяют мелкие ячейки у скважин и ячейки в зоне фронта — это часы, а не секунды, как у явного давления.

Қате

«Итерации Ньютона сошлись, баланс выполнен — результат точен».

Шын мәнінде

Критерии сходимости говорят лишь, что разностные уравнения шага решены. В примере урока невязка ячейки 3 упала до $10^{-9}$ , а насыщенность отличалась от эталона на пять сотых: это погрешность крупного шага, её проверяют расчётами с меньшим шагом (Конечные разности: от уравнений к вычислениям).

Қате

«Поправку Ньютона находят, обращая якобиан».

Шын мәнінде

Обратная матрица разреженного якобиана почти заполнена, и для крупной модели её не построить. На каждой итерации решают линейную систему $\mathbf{J}\,\delta\mathbf{x} = -\mathbf{R}$ прямыми или итерационными методами (Решение систем линейных уравнений в симуляторах).

Толық: тереңдетілген

Условие Куранта через гармоники и капиллярный предел

Условие Куранта можно получить и анализом гармоник, как условия устойчивости в уроке о конечных разностях. Пусть наклон $f_w'$ почти постоянен (малое возмущение однородного состояния). Тогда явный пересчёт с взвешиванием против потока умножает гармонику с фазой $\xi$ на ячейку на комплексное число — амплитуда меняется, а гармоника ещё и сдвигается вниз по потоку:

Множитель перехода явного переноса против потока

G(\xi) = 1 - C\left(1 - \e^{-\mathrm{i}\xi}\right),\qquad |G|^2 = 1 - 2C(1 - C)(1 - \cos\xi)

мұндағы:

$C$ число Куранта $\Delta t\,q_t f_w'/V_p$ , —
$\xi$ сдвиг фазы гармоники на одну ячейку, рад
$\mathrm{i}$ мнимая единица, —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

линеаризация: постоянный наклон $f_w'$ , равномерная сетка, границы не учитываются.

$|G| \le 1$ для всех гармоник тогда и только тогда, когда $0 \le C \le 1$ . Худшая — шахматная гармоника ( $\xi = \pi$ ): $G = 1 - 2C$ , и при $C > 1$ она растёт, меняя знак на каждом шаге. Отдельная ячейка, у которой меняется только своя насыщенность, выдержала бы $C < 2$ (множитель $1 - C$ ), но «пила» соседних ячеек — нет: как и для давления, предел вдвое жёстче, чем для одного «бака» (откуда предел шага).

Для нелинейной кривой $f_w$ наклон меняется от ячейки к ячейке, и гарантию даёт наибольший наклон на интервале насыщенностей. На полосе урока расчёт заметно портится при превышении предела в полтора-два раза (рисунок с полосой из 20 ячеек), но полагаться на такой запас нельзя: он зависит от кривых ОФП и от того, как быстро фронт проходит крутой участок.

Капиллярный член уравнения насыщенности — диффузионный (уравнение насыщенности). Если его считать явно, у него свой предел, устроенный как предел явной схемы давления $\Delta t \le \tau_i$ :

Предел шага при явном учёте капиллярного давления

\Delta t \le \frac{V_{p,i}}{\sum_j 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_o f_w\left|\dd p_c/\dd S_w\right|}

мұндағы:

$\lambda_o f_w$ множитель капиллярного потока $\lambda_o\lambda_w/\lambda_t$ на единицу проницаемости, 1/(мПа·с)
$\left|\dd p_c/\dd S_w\right|$ наклон кривой капиллярного давления, МПа
$T_{ij},\ V_{p,i}$ проводимости связей и поровый объём ячейки, мД·м, м³

Бірліктер: метрические промысловые: $\Delta t$ в сут

Мына жағдайда орындалады

явный учёт капиллярного члена; достаточное условие того же вида, что $\Delta t \le \tau_i$ для давления;
коэффициент берут наибольшим на интервале насыщенностей ячейки и соседей.

Поровый объём пропорционален размеру ячейки, проводимость обратно пропорциональна ему, поэтому предел убывает как квадрат размера ячейки. В крупных ячейках он далёк; в мелкомасштабных моделях — керна, конуса воды, блоков трещиноватого пласта — может оказаться жёстче условия Куранта, и тогда капиллярный член считают неявно. Сила тяжести добавляет свой предел переноса — со скоростью гравитационного разделения фаз.

Повторный IMPES на шаге — простые итерации

Если на шаге IMPES пересчитать подвижности по новым насыщенностям и повторить расчёт давления и насыщенностей — и так до тех пор, пока изменения не станут малы, — в пределе получится решение уравнений с подвижностями конца шага, то есть полностью неявных. Но сходится ли такой процесс? Для полосы урока повторение сводится к простым итерациям:

Простые итерации неявного баланса ячейки

S^{(\nu+1)} = S_i^{n} + K\left[f_w\!\left(S_{i-1}^{n+1}\right) - f_w\!\left(S^{(\nu)}\right)\right],\qquad \left|S^{(\nu+1)} - S^{*}\right| \approx K f_w'(S^{*})\left|S^{(\nu)} - S^{*}\right|

мұндағы:

$S^{(\nu)}$ приближение на итерации $\nu$ , —
$S^{*}$ решение — корень неявного баланса ячейки, —
$K f_w'(S^*)$ множитель, на который итерация умножает ошибку, —

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

одномерная несжимаемая полоса, как в примерах урока;
оценка справа — вблизи решения (линеаризация).

Ошибка умножается на $Kf_w'$ за итерацию: итерации сходятся, только если $Kf_w' < 1$ , — это снова условие Куранта. Повторение шага IMPES уточняет решение при допустимом шаге, но превысить предел не позволяет.

Есептеу мысалыПростые итерации и метод Ньютона для ячейки 3

Бастапқы деректер (шартты)

Полоса и состояние: как в примерах урока; шаг 1000 сут, $K$ = 0,17
Ячейки 1 и 2: решены неявно; приток в ячейку 3 $f_{\text{вх}}$ = 0,8020

Шешім

Решение уравнения ячейки 3 — $S^*$ = 0,41825; наклон в нём $f_w'$ = 2,157, множитель простых итераций $Kf_w'$ = 0,37 < 1.
Простые итерации от 0,30: модули невязок 0,136; 0,0248; 0,00985; 0,00348… — знак чередуется, а модуль уменьшается примерно в 2,7 раза за итерацию; до $|R| < 10^{-7}$ нужно 14 итераций.
Метод Ньютона от той же точки: 0,136; 0,0197; 0,000561; $4{,}8\cdot10^{-7}$ ; $3{,}5\cdot10^{-13}$ — ниже $10^{-7}$ после 4 итераций.
При шаге 3000 сут множитель в решении 2,64 > 1: простые итерации не сходятся — качаются между 0,24 и 0,75, как метод Ньютона без ограничения в примере урока.

Жауап: При допустимом шаге повторение IMPES сходится, но медленно: 14 итераций против 4 у метода Ньютона; при шаге выше предела — не сходится.

Бұл нені білдіреді. Повторный пересчёт шага IMPES с обновлёнными подвижностями приближает его к полностью неявному решению, но ограничение шага не снимает: множитель $Kf_w'$ — то же число Куранта. Чтобы шагать дальше предела, нужны производные — метод Ньютона. Данные примера условные.

Из чего складывается якобиан

Возьмём переток воды в ячейку $i$ из соседа $j$ без капиллярного давления и силы тяжести, в пластовых объёмах: $F = 0{,}0853\,T_{ij}\lambda_{w\uparrow}(p_j - p_i)$ , где $\lambda_{w\uparrow} = k_{rw}/\mu_w$ ячейки выше по потоку. Его производные по неизвестным — элементы якобиана:

Производные перетока воды по неизвестным

\frac{\partial F}{\partial p_j} = -\frac{\partial F}{\partial p_i} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\lambda_{w\uparrow},\qquad \frac{\partial F}{\partial S_{w\uparrow}} = 0{,}0853\,T_{ij}\,\frac{\dd\lambda_w}{\dd S_w}\,(p_j - p_i),\qquad \frac{\partial F}{\partial S_{w\downarrow}} = 0

мұндағы:

$F$ переток воды из ячейки $j$ в ячейку $i$ в пластовых условиях, м³/сут
$\lambda_{w\uparrow}$ подвижность воды $k_{rw}/\mu_w$ в ячейке выше по потоку (при $p_j > p_i$ — в ячейке $j$ ), 1/(мПа·с)
$S_{w\uparrow},\ S_{w\downarrow}$ водонасыщенность ячейки выше и ниже по потоку, —
$\dd\lambda_w/\dd S_w$ наклон кривой подвижности воды, 1/(мПа·с)

Бірліктер: метрические промысловые

Мына жағдайда орындалады

взвешивание против потока; направление потока на итерации не меняется (иначе производные меняются скачком).

Производные по давлениям — тот же коэффициент связи, что в однофазном уравнении ячейки, с подвижностью воды вместо $1/\mu$ . Производная по насыщенности ячейки выше по потоку — наклон кривой подвижности, умноженный на перепад давления; по насыщенности ячейки ниже по потоку — ноль. Отсюда несимметричная структура якобиана на рисунке.

К диагональному блоку ячейки добавляется накопление: $V_p/\Delta t$ по насыщенности и члены сжимаемости по давлению. Скважина с заданным забойным давлением добавляет туда же производные своего дебита: по давлению — индекс скважины, умноженный на подвижность фазы, по насыщенности — индекс, умноженный на наклон кривой подвижности и на депрессию. Так скважина связывает давление и насыщенность своей ячейки (дебиты фаз). Пересчитывать все производные на каждой итерации дорого, и их иногда берут с прошлых итераций или вычисляют приближённо; сходимость тогда медленнее квадратичной.

Басқа тақырыптармен байланыс

Уравнения двухфазной фильтрации — двухфазные уравнения ячеек, взвешивание против потока и шаг заводнения полосы, с которого начинаются примеры урока.
Уравнение давления для однофазной фильтрации — явная и неявная схемы для давления, предельный шаг и метод прогонки.
Конечные разности: от уравнений к вычислениям — устойчивость, анализ гармоник и разница между сходимостью схемы и сходимостью итераций.
Относительная проницаемость — модель Кори, по которой считаются доля воды и её наклон.
Решение систем линейных уравнений в симуляторах — как решают разреженные линейные системы на каждой итерации Ньютона.
Численная дисперсия — размытие фронта на сетке и при крупных неявных шагах.
Типы гидродинамических моделей — число неизвестных в ячейке для разных типов моделей и цена расчёта.
Сетки в гидродинамических моделях — размер ячеек, локальное измельчение и расчёт на линиях тока.
Модель скважины в ячейке сетки — режимы работы скважин и их связь с ячейкой.
Теория Баклея–Леверетта и метод Уэлджа — точное решение одномерного вытеснения для проверки схем.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Что в схеме IMPES вычисляют по значениям начала шага?
1. А.Подвижности фаз в коэффициентах уравнений
2. Б.Перетоки воды через грани
3. В.Ничего: все величины берутся в конце шага
4. Г.Давления всех ячеек
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Подвижности фаз в коэффициентах уравнений
IMPES «замораживает» подвижности по насыщенностям начала шага. С ними уравнение давления линейно, и давления конца шага находят неявно — одной системой. Перетоки воды считают по новым давлениям, но со старыми подвижностями, и по ним явно пересчитывают насыщенности.
2
Ячейка у добывающей скважины имеет поровый объём 1200 м³, через неё проходит 80 м³/сут жидкости в пластовых условиях, наибольший наклон кривой доли воды — 4,0. Какой наибольший шаг допускает IMPES и как он изменится, если ячейку разделить по площади на четыре равные части, а весь приток пойдёт через одну из них?
Жауабын көрсету
По условию Куранта $\Delta t \le V_p/(Q\,f_w') = 1200/(80\cdot4{,}0) = 3{,}75$ сут. У четверти ячейки поровый объём 300 м³ при том же расходе: $300/320 \approx 0{,}94$ сут, около 22,5 ч — вчетверо меньше. Поэтому локальное измельчение у скважин сильно бьёт по схеме IMPES и почти не мешает полностью неявной.
3
Невязки на итерациях шага: $3\cdot10^{-2}$ ; $2\cdot10^{-3}$ ; $1\cdot10^{-5}$ ; $4\cdot10^{-10}$ . Как сходятся итерации?
1. А.Не сходятся
2. Б.Линейно: невязка уменьшается в постоянное число раз
3. В.По невязкам этого сказать нельзя
4. Г.Квадратично: показатель степени примерно удваивается
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Г. Квадратично: показатель степени примерно удваивается
Отношения соседних невязок растут — 15, 200, 25 000, — а показатель степени (десятичный логарифм невязки со знаком минус) идёт 1,5; 2,7; 5,0; 9,4 — примерно удваивается: каждая невязка порядка квадрата предыдущей. Так сходится метод Ньютона вблизи решения. При линейной сходимости, как у простых итераций, отношение соседних невязок было бы постоянным.
4
Почему при крупном шаге метод Ньютона для уравнения насыщенности может «качаться» и не сойтись и что в этом случае делает симулятор?
Жауабын көрсету
Кривая доли воды S-образна: при малых насыщенностях она пологая, у точки перегиба крутая. Касательная, проведённая в пологой части, пересекает ноль далеко за корнем, а оттуда следующая касательная отбрасывает назад — в примере урока приближения качаются между 0,24 и 0,75. Симулятор ограничивает поправки (изменение насыщенности за итерацию, переход через точку перегиба, уменьшение поправки при росте невязки), а если итерации всё равно не сходятся за заданное число, отбрасывает шаг и повторяет его меньшим.
5
За шаг 20 сут наибольшее изменение водонасыщенности составило 0,12 при целевом 0,05. Каким будет следующий шаг по пропорциональному правилу?
1. А.20 сут
2. Б.Около 8 сут
3. В.40 сут
4. Г.48 сут
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Около 8 сут
Шаг масштабируют отношением целевого изменения к фактическому: $20\cdot0{,}05/0{,}12 \approx 8{,}3$ сут. 48 сут получилось бы при обратном отношении, 40 сут — при простом удвоении. Если изменение превышает не только целевое, но и предельно допустимое значение, шаг не принимают, а повторяют с меньшим $\Delta t$ .
6
Какие ячейки адаптивная неявная схема считает неявно и почему таких ячеек обычно немного?
Жауабын көрсету
Те, где число Куранта при предлагаемом шаге больше порога: у скважин, где через малый поровый объём проходит большой расход, и в зоне фронта, где наклон кривой доли воды велик, — включая ячейки, в которые фронт придёт за шаг. В остальном пласте насыщенности меняются медленно, число Куранта мало, и явный пересчёт устойчив и дешевле. Фронты и окрестности скважин занимают малую часть модели, поэтому система уравнений много меньше, чем в полностью неявной схеме.

Жаңартылған: 12 октября 2026 г.