Пространственная корреляция и вариограмма

Қысқаша негізгісі

Гистограмма описывает, какие значения встречаются, вариограмма — как они расположены. Два пласта с одинаковой гистограммой проницаемости могут вести себя при разработке совершенно по-разному.
Экспериментальная вариограмма — половина среднего квадрата разности значений в парах на каждом шаге. Её точки по малому числу пар ненадёжны; обычно строят шаги до половины размера области.
Три параметра: эффект самородков — скачок у начала координат (ошибки измерений и изменчивость мельче шага данных), порог — уровень, на который выходит вариограмма (обычно дисперсия данных), радиус корреляции — расстояние, на котором она выходит на порог.
Модели различаются поведением у начала координат: сферическая и экспоненциальная растут линейно (свойство меняется резко), гауссова — параболически (плавно).
Вариограмма зависит от направления: радиусы вдоль вытянутых тел больше, чем поперёк, а по вертикали — в десятки и сотни раз меньше, чем по горизонтали.
Кригинг взвешивает скважины по близости к точке и друг к другу и даёт оценку с дисперсией ошибки; карта кригинга сглажена, поэтому для гидродинамических расчётов строят реализации стохастического моделирования.

Негізгі қатынастар

\hat\gamma(h) = \dfrac{1}{2N(h)}\sum_{i=1}^{N(h)}\left[z(x_i + h) - z(x_i)\right]^2

экспериментальная вариограмма

\gamma(h) = C_0 + C\left[\dfrac{3h}{2a} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{h}{a}\right)^3\right],\ h \le a

сферическая модель; при $h > a$ — порог $C_0 + C$

C(h) = \sigma^2 - \gamma(h),\qquad \rho(h) = 1 - \gamma(h)/\sigma^2

ковариация и коррелограмма

\sum_j \lambda_j \gamma_{ij} + \mu = \gamma_{i0},\quad \sum_j \lambda_j = 1,\quad \sigma_K^2 = \sum_i \lambda_i\gamma_{i0} + \mu

система ординарного кригинга и его дисперсия

Жиі қателіктер

Подбирать модель по дальним шагам, где пар мало.
Считать эффект самородков ошибкой измерений и убирать его.
Переносить вертикальную вариограмму по скважинам на горизонтальные направления.
Строить вариограмму по данным с трендом, не убрав его.
Использовать карту кригинга как реалистичную картину пласта для расчёта вытеснения.

Сабақтан кейін сіз

построить экспериментальную вариограмму по ряду данных и объяснить, что показывает каждая её точка и насколько ей можно доверять;
читать вариограмму: эффект самородков, порог, радиус корреляции, тренд и цикличность — и связывать их с геологией и измерениями;
подобрать сферическую, экспоненциальную или гауссову модель и объяснить, чем они различаются у начала координат;
переходить от вариограммы к ковариации и коррелограмме и оценивать эффективное число независимых данных;
описывать анизотропию направленными вариограммами и эллипсом радиусов корреляции;
рассчитать оценку ординарного кригинга по нескольким скважинам, объяснить её веса и дисперсию и отличие от последовательного гауссова моделирования.

Пространственная корреляция: чего не показывает гистограмма

Описательная статистика отвечает на вопрос, какие значения встречаются в пласте (Описательная статистика в геологии): среднее, разброс, форма распределения (Распределения и достаточность выборки). Но она ничего не говорит о том, где эти значения расположены. Высокопроницаемые прослои могут быть рассеяны мелкой мозаикой, а могут вытягиваться в выдержанные полосы, по которым вода прорвётся от нагнетательной скважины к добывающей. Гистограммы этих двух пластов одинаковы, а разработка — разная (длина корреляции).

Свойство пласта, меняющееся в пространстве не беспорядочно, а с закономерной похожестью соседних значений, в геостатистике называют регионализированной переменной (regionalized variable). Значения в соседних точках похожи, в удалённых — нет; насколько быстро пропадает сходство, и описывает вариограмма. Сравнивают пары точек, разнесённых на шаг $h$ (lag) — расстояние, а на площади и в объёме ещё и направление.

Экспериментальная вариограмма

\hat\gamma(h) = \frac{1}{2N(h)}\sum_{i=1}^{N(h)}\left[z(x_i + h) - z(x_i)\right]^2

мұндағы:

$\hat\gamma(h)$ экспериментальная (полу)вариограмма на шаге $h$ , квадрат единиц свойства, например %²
$h$ шаг — расстояние (на площади — и направление) между точками пары, м
$N(h)$ число пар точек, разнесённых на $h$ , —
$z(x_i),\ z(x_i + h)$ значения свойства в точках пары, единицы свойства

Бірліктер: значения в своих единицах, расстояния в метрах

Мына жағдайда орындалады

свойство стационарно в изучаемой области: среднее не меняется закономерно, и разности зависят только от шага;
неравномерно расположенные данные группируют по классам шагов ( $h$ плюс-минус допуск) и направлений (плюс-минус угловой допуск);
по шагам с малым числом пар оценка ненадёжна; практическое правило — шаги не дальше половины размера области и не меньше нескольких десятков пар на шаг.

Множитель $1/2$ введён затем, чтобы на больших расстояниях, где значения независимы, вариограмма равнялась дисперсии: средний квадрат разности двух независимых значений равен удвоенной дисперсии. Вариограмме не нужно среднее — это её практическое преимущество перед ковариацией.

Есептеу мысалыВариограмма пористости по ряду скважин

Бастапқы деректер (шартты)

Скважины: 14 скважин ряда, по прямой через 300 м, азимут ряда 80°
Средняя пористость пласта, % (по порядку): 18,5; 17,2; 16,7; 14,8; 15,3; 15,8; 16,6; 16,7; 19,4; 16,1; 16,9; 18,9; 19,1; 19,0

Шешім

Среднее $\bar\phi = 17{,}21$ %, дисперсия выборки $s^2 = 2{,}289$ %².
Шаг 300 м — соседние скважины, 13 пар. Квадраты разностей: 1,69; 0,25; 3,61; 0,25; 0,25; 0,64; 0,01; 7,29; 10,89; 0,64; 4,00; 0,04; 0,01. Сумма 29,57 %², $\hat\gamma(300) = 29{,}57/(2\cdot13) = 1{,}137$ %².
Шаг 600 м — через одну скважину, 12 пар: сумма 41,60, $\hat\gamma(600) = 41{,}60/24 = 1{,}733$ %². Шаг 900 м, 11 пар: сумма 50,22, $\hat\gamma(900) = 2{,}283$ %².
Шаги 1200, 1500 и 1800 м (10, 9 и 8 пар): $\hat\gamma$ = 2,3075; 2,3261; 2,2844 %².
В долях дисперсии: 0,50; 0,76; 1,00; 1,01; 1,02; 1,00 — с 900 м вариограмма держится около единицы.
Сферическая модель с эффектом самородков 0,3 %², частичным порогом 2,0 %² (порог 2,3 %²) и радиусом 1100 м даёт на шагах 300, 600 и 900 м 1,10; 1,77 и 2,21 %², дальше — 2,3 %²: близко к точкам.

Жауап: Вариограмма растёт от 1,14 %² на 300 м и выходит на порог около 2,3 %² — дисперсию данных — к 900–1200 м: радиус корреляции вдоль ряда около 1,1 км, эффект самородков около 0,3 %².

Бұл нені білдіреді. Скважины, отстоящие больше чем на 1–1,2 км, практически независимы, соседние — заметно похожи. Эффект самородков здесь не ошибка: при шаге данных 300 м в него попадает вся изменчивость мельче шага — от слойков до отдельных песчаных тел, — и её по этим скважинам не разрешить. Его оценка — экстраполяция к нулю по первым точкам, поэтому неопределённа. Точки за радиусом колеблются около дисперсии: по 8–10 парам вариограмма определена грубо, и подбирать модель по дальним шагам не стоит. Данные примера условные.

ЕсептеуЭкспериментальная вариограмма ряда из примера (точки) и подобранная сферическая модель: эффект самородков 0,3 %², порог 2,3 %² (штрих; дисперсия данных 2,29 %²), радиус корреляции 1100 м (вертикальный штрих).

На неравномерной сети скважин пары группируют по классам расстояний, например 0–150, 150–450, 450–750 м и так далее, а для направленной вариограммы — ещё и по углу: в класс азимута 60° попадают пары, направление которых отличается от 60° не больше чем на допуск, скажем 22,5°. Чем шире допуски, тем больше пар и тем грубее разрешение по расстоянию и направлению. По вертикали данных много — каротаж через 0,1–0,2 м, — и вертикальную вариограмму строят надёжно; по горизонтали скважин мало, и горизонтальные радиусы берут из геологии, обнажений-аналогов, горизонтальных стволов и сейсмических атрибутов.

Самородок, порог и радиус корреляции: как читать вариограмму

Эффект самородков $C_0$ (nugget effect): скачок вариограммы у начала координат. Название пришло из горного дела: золотой самородок в одной пробе делает соседние пробы непохожими. Складывается из ошибок измерения и изменчивости на расстояниях меньше шага данных. Чем он больше, тем меньше пользы от соседних измерений при интерполяции; вариограмма, целиком состоящая из самородка, означает, что на масштабе данных значения не коррелированы.
Порог $C_0 + C$ (sill): уровень, на который выходит вариограмма; при стационарности — дисперсия свойства. Если область мала по сравнению с радиусом, вариограмма может не успеть выйти на порог.
Радиус корреляции $a$ (range): расстояние, на котором вариограмма выходит на порог, а значения перестают быть похожими. Это та же длина корреляции, что в уроке о неоднородности проницаемости.

Типичные формы вариограммы и что за ними стоит

Форма: Сразу на пороге (чистый самородок)
Что значит: на масштабе данных значения не коррелированы: длина корреляции меньше шага или данные зашумлены
Что делать: сгустить данные; в модели — случайное размещение, для осреднения — среднее геометрическое (случайная мозаика)

Форма: Плавный рост и выход на порог
Что значит: обычная корреляция с радиусом $a$
Что делать: подобрать модель; сравнить радиус с расстоянием между скважинами и размером ячейки

Форма: Рост без порога, ускоряющийся
Что значит: тренд: среднее меняется закономерно
Что делать: снять тренд и строить вариограмму остатков

Форма: Провалы ниже порога на определённых шагах (hole effect)
Что значит: цикличность: повторяющиеся слои, пачки или тела с шагом, равным положению провала
Что делать: учитывать в модели или моделировать тела объектами

Форма: Разные пороги по направлениям
Что значит: зональная анизотропия: например, по вертикали пересекаются разные слои, по горизонтали — нет
Что делать: добавить структуру, действующую в одном направлении

Форма	Что значит	Что делать
Сразу на пороге (чистый самородок)	на масштабе данных значения не коррелированы: длина корреляции меньше шага или данные зашумлены	сгустить данные; в модели — случайное размещение, для осреднения — среднее геометрическое (случайная мозаика)
Плавный рост и выход на порог	обычная корреляция с радиусом $a$	подобрать модель; сравнить радиус с расстоянием между скважинами и размером ячейки
Рост без порога, ускоряющийся	тренд: среднее меняется закономерно	снять тренд и строить вариограмму остатков
Провалы ниже порога на определённых шагах (hole effect)	цикличность: повторяющиеся слои, пачки или тела с шагом, равным положению провала	учитывать в модели или моделировать тела объектами
Разные пороги по направлениям	зональная анизотропия: например, по вертикали пересекаются разные слои, по горизонтали — нет	добавить структуру, действующую в одном направлении

Провал считают значимым, если он заметно ниже порога и подкреплён геологией: по малому числу пар вариограмма колеблется и без всякой цикличности.

У проницаемости разброс велик и распределение логнормально (логнормальное распределение), поэтому вариограмму проницаемости строят по её логарифму: иначе несколько высоких значений определят всю картину. Эффект самородков зависит и от носителя (support) — объёма, к которому относится измерение. Зонд, измеряющий проницаемость на сантиметре керна, видит слойки, которых не различает образец, а образец — те, что пропадают на масштабе исследования скважины (масштаб измерения).

Модели вариограммы

Экспериментальная вариограмма известна лишь на нескольких шагах, а для кригинга и моделирования нужно значение на любом расстоянии. Поэтому через точки проводят модель — функцию из небольшого набора разрешённых (почему не любую — в разделе для углублённого изучения). Чаще других используют три.

Сферическая, экспоненциальная и гауссова модели

\begin{aligned} \gamma_{\text{сф}}(h) &= C_0 + C\left[\frac{3h}{2a} - \frac{1}{2}\left(\frac{h}{a}\right)^{3}\right]\ \text{при}\ h \le a;\qquad C_0 + C\ \text{при}\ h > a\\ \gamma_{\text{эксп}}(h) &= C_0 + C\left[1 - e^{-3h/a}\right]\\ \gamma_{\text{гаусс}}(h) &= C_0 + C\left[1 - e^{-3h^2/a^2}\right] \end{aligned}

мұндағы:

$C_0$ эффект самородков, ед.²
$C$ частичный порог — изменчивость, связанная с расстоянием, ед.²
$C_0 + C$ порог, ед.²
$a$ радиус корреляции: у сферической модели — расстояние, где она достигает порога, у экспоненциальной и гауссовой — где набирает 95 % частичного порога, м
$h$ шаг, $h > 0$ ; при $h = 0$ вариограмма равна нулю, м

Бірліктер: вариограмма в квадрате единиц свойства, расстояния в метрах

Мына жағдайда орындалады

модель — сумма разрешённых структур с неотрицательными коэффициентами (вложенные структуры);
эффект самородков — скачок при сколь угодно малом $h > 0$ , сама вариограмма в нуле равна нулю;
экспоненциальную и гауссову модели часто записывают через параметр $a/3$ или $a/\sqrt3$ : при переносе параметров между программами проверяют, какой радиус имеется в виду.

Модели различаются у начала координат. Сферическая и экспоненциальная растут линейно — свойство меняется от точки к точке резко, как пористость или проницаемость пород. Гауссова растёт параболически — свойство меняется плавно, как глубина кровли пласта или его толщина; без эффекта самородков она делает систему кригинга плохо обусловленной. Сферическая модель выходит на порог точно на радиусе, экспоненциальная приближается к нему медленно.

ЕсептеуТри модели с одинаковым порогом 1 и одинаковым радиусом корреляции 1000 м: сферическая (сплошная синяя), экспоненциальная (штрих) и гауссова (оранжевая). Сферическая и экспоненциальная растут у начала координат линейно, гауссова — параболически; на малых шагах экспоненциальная выше всех, гауссова ниже всех.

Модель подбирают так, чтобы она хорошо проходила через первые точки, где пар больше всего и где она важнее всего для кригинга: веса точек берут пропорциональными числу пар. Порог сверяют с дисперсией данных, радиус — с геологией: размерами тел, расстояниями между ними (размеры песчаных тел). Если вариограмма растёт двумя ступенями — например, слойки и пачки, — модель составляют из двух структур: короткой и длинной.

Ковариация, коррелограмма и число независимых данных

Ту же пространственную корреляцию можно описать не различием, а сходством. Ковариация $C(h)$ — среднее произведение отклонений от среднего у значений, разнесённых на $h$ ; коррелограмма $\rho(h)$ — их коэффициент корреляции (коэффициент корреляции) как функция шага.

Связь ковариации, коррелограммы и вариограммы

C(h) = C(0) - \gamma(h),\qquad \rho(h) = \frac{C(h)}{C(0)} = 1 - \frac{\gamma(h)}{C(0)},\qquad C(0) = C_0 + C = \sigma^2

мұндағы:

$C(h)$ ковариация значений, разнесённых на $h$ , ед.²
$C(0) = \sigma^2$ дисперсия свойства — порог вариограммы, ед.²
$\rho(h)$ коррелограмма — коэффициент корреляции значений, разнесённых на $h$ , —
$\gamma(h)$ вариограмма, ед.²

Бірліктер: в квадрате единиц свойства; $\rho$ безразмерен

Мына жағдайда орындалады

стационарность второго порядка: постоянное среднее и конечная дисперсия, на которую вариограмма выходит у порога;
при тренде или вариограмме без порога ковариация не определена, а вариограмма определена — её и используют.

Вариограмма и ковариация — зеркальные описания: где вариограмма растёт, ковариация падает, на радиусе ковариация обращается в нуль. При эффекте самородков коррелограмма скачком падает от 1 при $h = 0$ до $1 - C_0/\sigma^2$ при сколь угодно малом шаге.

Коррелированные данные несут меньше сведений, чем независимые: соседние значения частично повторяют друг друга. Сколько независимых значений стоит ряд из $N$ коррелированных, показывает эффективное число $N/(1 + (N-1)\bar\rho)$ , где $\bar\rho$ — средний коэффициент корреляции по всем парам (чего стоят похожие образцы). Вариограмма даёт $\bar\rho$ без предположений «на глаз».

Есептеу мысалыСколько независимых скважин в ряду из четырнадцати

Бастапқы деректер (шартты)

Ряд: 14 скважин через 300 м из примера выше; стандартное отклонение пористости 1,513 %
Модель: сферическая: самородок 0,3 %², порог 2,3 %², радиус 1100 м

Шешім

Коэффициенты корреляции по модели: $\rho(300) = 1 - 1{,}0979/2{,}3 = 0{,}523$ ; $\rho(600) = 1 - 1{,}7741/2{,}3 = 0{,}229$ ; $\rho(900) = 1 - 2{,}2068/2{,}3 = 0{,}041$ ; дальше радиуса — ноль.
Пар в ряду 91: соседних 13, через одну скважину — 12, через две — 11. Средняя корреляция: $\bar\rho = (13\cdot0{,}523 + 12\cdot0{,}229 + 11\cdot0{,}041)/91 = 0{,}110$ .
Эффективное число независимых скважин: $14/(1 + 13\cdot0{,}110) = 5{,}8$ .
Стандартная ошибка средней пористости ряда: $1{,}513/\sqrt{5{,}8} = 0{,}63$ % вместо $1{,}513/\sqrt{14} = 0{,}40$ %, если считать скважины независимыми.

Жауап: Четырнадцать скважин ряда стоят примерно 5,8 независимых, и средняя пористость по ним известна с погрешностью около 0,6 %, а не 0,4 %.

Бұл нені білдіреді. Корреляция работает в обе стороны. Для оценки средних соседние скважины частично повторяют друг друга и «стоят» меньше; для прогноза между скважинами именно эта похожесть полезна — на ней основан кригинг. Средняя корреляция рассчитана по модели, а не по самим данным, и зависит от неё: чем длиннее корреляция при том же шаге, тем меньше независимых значений. Данные примера условные.

Анизотропия: вариограмма по направлениям

Песчаные тела вытянуты по направлению палеотечения, рифы — вдоль края платформы, слои — вдоль напластования, поэтому вариограмма зависит от направления. Её строят по нескольким азимутам — направленные вариограммы — и по вертикали. Если пороги по направлениям одинаковы, а радиусы разные, анизотропию называют геометрической (geometric anisotropy): радиусы по направлениям образуют эллипс, а в объёме — эллипсоид. Если различаются и пороги, анизотропию называют зональной (zonal anisotropy); так бывает, когда вертикальная вариограмма пересекает разные слои, а горизонтальная идёт внутри одного.

Приведённое расстояние и радиус по направлению при геометрической анизотропии

h' = \sqrt{\left(\frac{h_{\parallel}}{a_{max}}\right)^2 + \left(\frac{h_{\perp}}{a_{min}}\right)^2},\qquad a(\alpha) = \left[\frac{\cos^2(\alpha - \alpha_0)}{a_{max}^2} + \frac{\sin^2(\alpha - \alpha_0)}{a_{min}^2}\right]^{-1/2}

мұндағы:

$h'$ расстояние между точками в долях радиуса: модель вычисляют при $h/a = h'$ , —
$h_{\parallel},\ h_{\perp}$ составляющие расстояния вдоль большой оси эллипса и поперёк неё, м
$a_{max},\ a_{min}$ радиусы корреляции по большой и малой осям, м
$\alpha,\ \alpha_0$ азимут направления и азимут большой оси, °
$a(\alpha)$ радиус корреляции по направлению $\alpha$ , м

Бірліктер: расстояния в метрах, азимуты в градусах

Мына жағдайда орындалады

геометрическая анизотропия: порог и эффект самородков одинаковы по всем направлениям;
оси эллипса совпадают с главными направлениями — обычно вдоль вытянутости тел и поперёк; в объёме добавляют вертикальную ось с намного меньшим радиусом;
при зональной анизотропии к модели добавляют структуру, действующую только в одном направлении.

Расстояние пересчитывают в доли радиуса по каждой оси, поэтому пара скважин вдоль тел оказывается «ближе», чем такая же пара поперёк. Эллипс радиусов в плане показывает, на какое расстояние в каждом направлении значения ещё похожи.

Есептеу мысалыНасколько похожи скважины в 600 м друг от друга

Бастапқы деректер (шартты)

Направленные вариограммы по всем скважинам месторождения: радиус 1600 м по азимуту 60° — вдоль песчаных тел — и 500 м по азимуту 150°; самородок 0,3 %², порог 2,3 %², сферическая модель
Пара скважин: 600 м одна от другой по азимуту 90°
Ряд из первого примера: азимут 80°

Шешім

Радиус вдоль ряда (азимут 80°, на 20° от большой оси): $a = \left[\cos^2 20°/1600^2 + \sin^2 20°/500^2\right]^{-1/2} = 1109$ м — почти то же, что дала вариограмма ряда (1100 м).
Пара скважин отклонена от большой оси на 30°: составляющие расстояния $600\cos30° = 519{,}62$ м и $600\sin30° = 300{,}0$ м.
Приведённое расстояние: $h' = \sqrt{(519{,}62/1600)^2 + (300{,}0/500)^2} = 0{,}6823$ .
Сферическая структура: $1{,}5\cdot0{,}6823 - 0{,}5\cdot0{,}6823^3 = 0{,}8646$ ; $\gamma = 0{,}3 + 2{,}0\cdot0{,}8646 = 2{,}029$ %², коэффициент корреляции $1 - 2{,}029/2{,}3 = 0{,}118$ .
По изотропной модели ряда (радиус 1100 м во всех направлениях) было бы $\gamma(600) = 1{,}774$ %² и корреляция 0,229.

Жауап: Скважины в 600 м по азимуту 90° коррелированы слабо —

\rho \approx 0{,}12

, вдвое слабее, чем по изотропной модели ряда (0,23): радиус по этому направлению лишь 879 м.

Бұл нені білдіреді. Анизотропия решает, как вести интерполяцию: вдоль тел значения переносятся на полтора километра, поперёк — на полкилометра. Ряд скважин, вытянутый почти вдоль тел, «видит» длинный радиус, и перенос его вариограммы на другие направления завысил бы непрерывность. Поэтому направленные вариограммы строят по всем парам с угловым допуском, а большую ось сверяют с геологией — направлением палеотечения и вытянутостью тел (форма тел). Данные примера условные.

ЕсептеуВверху — эллипс радиусов корреляции из примера в плане: 1600 м по азимуту 60°, 500 м по азимуту 150°; стрелки — направления ряда скважин (80°, радиус около 1110 м) и пары скважин (90°, около 880 м). Внизу — модели вариограммы по трём направлениям: поперёк тел (150°, крутая), вдоль ряда (80°) и вдоль тел (60°, пологая); точки — экспериментальная вариограмма ряда.

Вертикальные радиусы обычно в десятки и сотни раз меньше горизонтальных: слои тонкие, но протяжённые (длина корреляции по вертикали и горизонтали). Поэтому вертикальную вариограмму по каротажу и керну нельзя переносить на горизонталь, а сетку модели делают тонкой по вертикали и крупной по площади (Сетки в гидродинамических моделях).

Кригинг: оценка между скважинами по вариограмме

Кригинг (kriging) — способ оценить свойство в точке, где измерений нет, как взвешенное среднее данных, выбрав веса по вариограмме. Метод назван по имени горного инженера, применившего статистику к оценке рудных запасов, и развит в геостатистике в 1960-х годах. В отличие от метода обратных расстояний (построение сетки), веса учитывают не только расстояние до точки, но и расположение данных друг относительно друга и анизотропию, а вместе с оценкой получается ожидаемая ошибка.

Система ординарного кригинга

\sum_{j=1}^{n}\lambda_j\,\gamma(x_i - x_j) + \mu = \gamma(x_i - x_0),\quad i = 1, \dots, n;\qquad \sum_{j=1}^{n}\lambda_j = 1

мұндағы:

$\lambda_j$ вес $j$ -й точки данных, —
$\mu$ множитель Лагранжа — плата за условие на сумму весов, ед.²
$\gamma(x_i - x_j)$ вариограмма между точками данных, ед.²
$\gamma(x_i - x_0)$ вариограмма между точкой данных и точкой оценки $x_0$ , ед.²
$n$ число точек данных в окрестности, —

Бірліктер: вариограмма в квадрате единиц свойства

Мына жағдайда орындалады

среднее неизвестно, но постоянно в окрестности оценки (ординарный кригинг); при известном среднем используют простой кригинг — без условия на сумму весов, с ковариацией вместо вариограммы;
вариограмма известна и относится к той же величине и тому же носителю, что и данные;
оценка — линейная комбинация данных; ошибки измерений входят в эффект самородков.

Условие на сумму весов делает оценку несмещённой, а система — минимизирует ожидаемый квадрат её ошибки. Правая часть отражает близость каждой точки данных к точке оценки, матрица слева — близость точек друг к другу: данные, повторяющие друг друга, делят вес.

Оценка кригинга и её дисперсия

z^*(x_0) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,z(x_i),\qquad \sigma_K^2 = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\gamma(x_i - x_0) + \mu

мұндағы:

$z^*(x_0)$ оценка свойства в точке $x_0$ , единицы свойства
$\sigma_K^2$ дисперсия кригинга — ожидаемый квадрат ошибки оценки, ед.²

Бірліктер: как у свойства и вариограммы

Мына жағдайда орындалады

веса и $\mu$ — решение системы ординарного кригинга;
дисперсия кригинга верна, если верна вариограмма; распределение ошибок не обязательно нормальное.

Дисперсия кригинга зависит только от расположения данных и вариограммы, но не от самих значений: её можно рассчитать до бурения и выбрать место скважины, которое сильнее всего снизит неопределённость. Обратная сторона: она не отражает того, что в одной части пласта значения разбросаны сильнее, чем в другой. В точке данных кригинг возвращает измеренное значение, а дисперсия равна нулю.

Есептеу мысалыПористость в проектной скважине по трём соседним

Бастапқы деректер (шартты)

Скважина 1: 450 м к востоку от проектной; пористость 16,2 %
Скважины 2 и 3: к западу: 420 м на запад и 150 м на север — 18,9 %; 500 м на запад и 320 м на север — 19,4 %
Вариограмма: модель ряда: сферическая, самородок 0,3 %², порог 2,3 %², радиус 1100 м; анизотропией для простоты пренебрегаем

Шешім

Расстояния до проектной скважины: $d_1 = 450$ м, $d_2 = \sqrt{420^2 + 150^2} = 446{,}0$ м, $d_3 = \sqrt{500^2 + 320^2} = 593{,}6$ м; между скважинами $d_{12} = 882{,}8$ , $d_{13} = 1002{,}4$ , $d_{23} = 187{,}9$ м.
Вариограмма по модели: до проектной $\gamma_{10} = 1{,}459$ , $\gamma_{20} = 1{,}450$ , $\gamma_{30} = 1{,}762$ %²; между скважинами $\gamma_{12} = 2{,}191$ , $\gamma_{13} = 2{,}277$ , $\gamma_{23} = 0{,}807$ %².
Система: $2{,}191\lambda_2 + 2{,}277\lambda_3 + \mu = 1{,}459$ ; $2{,}191\lambda_1 + 0{,}807\lambda_3 + \mu = 1{,}450$ ; $2{,}277\lambda_1 + 0{,}807\lambda_2 + \mu = 1{,}762$ ; $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$ . Решение: $\lambda_1 = 0{,}483$ , $\lambda_2 = 0{,}426$ , $\lambda_3 = 0{,}091$ , $\mu = 0{,}318$ %².
Оценка: $0{,}483\cdot16{,}2 + 0{,}426\cdot18{,}9 + 0{,}091\cdot19{,}4 = 17{,}64$ %.
Дисперсия кригинга: $0{,}483\cdot1{,}459 + 0{,}426\cdot1{,}450 + 0{,}091\cdot1{,}762 + 0{,}318 = 1{,}80$ %², стандартное отклонение 1,34 % — против $\sqrt{2{,}3} = 1{,}52$ % без всяких скважин.
Метод обратных расстояний ( $w \propto 1/d^2$ ) дал бы веса 0,3857; 0,3927 и 0,2216 и оценку 17,97 %.

Жауап: Кригинг оценивает пористость в проектной скважине в 17,6 % со стандартным отклонением 1,3 %; метод обратных расстояний дал бы 18,0 %.

Бұл нені білдіреді. Скважина 1 получила почти половину веса, хотя она не ближе скважины 2: скважины 2 и 3 стоят в 188 м друг от друга и во многом повторяют друг друга, поэтому их общий вес 0,52, а не 0,61, как у метода обратных расстояний, — кригинг «разгружает» скопления данных (declustering). Скважина 3 к тому же заслонена скважиной 2 и получила лишь 0,09 — эффект экранирования (screening). Стандартное отклонение 1,3 % мало отличается от 1,5 % без скважин: при радиусе 1,1 км и заметном эффекте самородков скважины в 450–600 м немного говорят о проектной точке. Пренебрежение анизотропией меняет веса: скважины, лежащие по направлению вытянутости тел, на деле весили бы больше. Данные примера условные.

ЕсептеуРасположение скважин примера в плане и их веса: у кригинга (толщина линий к проектной скважине пропорциональна весу) и у метода обратных расстояний. Пара западных скважин у кригинга весит меньше, а дальняя из них заслонена ближней.

Точность в точках данных. Кригинг проходит через данные, если эффект самородков отнесён к пространственной изменчивости; если же он описывает ошибку измерения, оценку в точке данных сглаживают.
Отрицательные веса. Заслонённые точки могут получить небольшой отрицательный вес; тогда оценка может выйти за пределы данных, что для пористости или доли коллектора иногда приходится ограничивать.
Сглаживание. Оценка — среднее по возможным значениям, поэтому карта кригинга плавнее действительности: её дисперсия меньше дисперсии данных, крайние значения и связность высокопроницаемых зон занижены. Это не недостаток метода, а свойство наилучшей оценки — и причина, по которой для расчётов течения строят моделирование.
Вторая переменная. Если есть плотные данные о связанной величине — сейсмический атрибут, толщина по сейсмике, — используют кокригинг или кригинг с внешним трендом: редкие скважинные значения уточняют по плотной сейсмике.

Стохастическое моделирование и модели свойств

Для гидродинамической модели важны не только средние значения, но и изменчивость: выдержанные высокопроницаемые полосы, плотные перемычки, связность тел (связность коллектора). Карта кригинга их сглаживает, поэтому прорывы воды по ней получаются слишком поздними, а охват — слишком хорошим. Стохастическое моделирование строит много вариантов распределения свойства — реализаций, каждый из которых совпадает с данными в скважинах, воспроизводит их гистограмму и вариограмму и одинаково правдоподобен. Различия между реализациями показывают неопределённость, которую скважины не снимают.

Последовательное гауссово моделирование (sequential Gaussian simulation)

1
Нормализовать
Перевести данные в стандартное нормальное распределение по квантилям — нормальное преобразование (normal score) — и построить вариограмму преобразованных значений.
2
Задать путь
Обходить узлы сетки в случайном порядке.
3
Оценить
В очередном узле найти простым кригингом по скважинам и уже заполненным соседним узлам среднее и дисперсию.
4
Разыграть
Выбрать случайное значение из нормального распределения с этими средним и дисперсией и записать его в узел; дальше узел считается данным.
5
Вернуть
Пройдя все узлы, перевести значения обратно в единицы свойства. Другой случайный путь и другие случайные числа дают другую реализацию.

ЕсептеуПористость вдоль линии длиной 3 км между тремя скважинами (точки): оценка простого кригинга (толстая линия) с полосой ±1 стандартное отклонение (штрих) и три реализации последовательного гауссова моделирования (тонкие линии) по вариограмме урока; узлы через 50 м, значения считаются нормально распределёнными. Реализации проходят через скважины и сохраняют изменчивость — их зубчатость от узла к узлу в основном задаёт эффект самородков модели, — а кригинг между скважинами стремится к среднему 17,2 %.

В геологической модели свойства моделируют по шагам. Сначала распределяют фации или типы пород — индикаторным моделированием по вариограммам или объектами, когда тела имеют известную форму (русла, лопасти) (Строение коллектора и поведение пласта при разработке). Затем внутри каждой фации — пористость, своим моделированием по своей вариограмме. Проницаемость моделируют совместно с пористостью — по связи между ними с её разбросом (Качество коллектора: геологические факторы пористости и проницаемости) или совместным моделированием с пористостью как второй переменной. Сейсмические атрибуты служат второй переменной для пористости и доли коллектора. Готовую модель укрупняют (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке) и рассчитывают течение на нескольких реализациях — от этого зависит диапазон прогноза добычи (Моделирование на практике: примеры применения, Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло).

Размер ячейки сравнивают с радиусом корреляции. Если радиус меньше ячейки, свойства соседних ячеек независимы, и модель выглядит случайной мозаикой; изменчивость внутри ячейки при этом теряется, и её учитывают при укрупнении. Если на радиусе укладывается несколько ячеек и больше, в модели видны непрерывные тела, и по ней можно судить о связности. Вариограмму, найденную по керну или каротажу (носитель — сантиметры и дециметры), перед моделированием приводят к размеру ячейки (раздел для углублённого изучения).

Терминдер мен белгілер

Вариограмма $\gamma(h)$: половина среднего квадрата разности значений свойства в парах точек, разнесённых на шаг $h$ (variogram, semivariogram).
Шаг $h$: расстояние (и направление) между точками пары; для неравномерных данных — класс расстояний с допуском (lag).
Эффект самородков $C_0$: скачок вариограммы у начала координат: ошибки и изменчивость мельче шага данных (nugget effect).
Порог: уровень, на который выходит вариограмма; при стационарности — дисперсия (sill).
Радиус корреляции $a$: расстояние, на котором вариограмма выходит на порог; длина корреляции (range).
Коррелограмма $\rho(h)$: коэффициент корреляции значений, разнесённых на $h$ : $1 - \gamma(h)/\sigma^2$ (correlogram).
Геометрическая и зональная анизотропия: различие радиусов корреляции по направлениям при одинаковом пороге и различие самих порогов.
Ординарный и простой кригинг: оценка взвешенным средним с весами по вариограмме: при неизвестном постоянном среднем (сумма весов — единица) и при известном среднем (ordinary, simple kriging).
Дисперсия кригинга $\sigma_K^2$: ожидаемый квадрат ошибки оценки; зависит от расположения данных и вариограммы, но не от значений.
Последовательное гауссово моделирование: построение реализаций свойства с заданными гистограммой и вариограммой, совпадающих с данными в скважинах (sequential Gaussian simulation, SGS).
Носитель: объём, к которому относится значение: точка керна, интервал каротажа, ячейка модели (support).

Жиі қателіктер

Қате

«Вариограмма на дальних шагах показывает настоящую структуру пласта».

Шын мәнінде

На дальних шагах пар мало, и вариограмма колеблется случайно. Модель подбирают по первым шагам с большим числом пар; практическое правило — шаги не дальше половины размера области.

Қате

«Порог всегда равен дисперсии данных».

Шын мәнінде

Только при стационарности и если область много больше радиуса. При тренде вариограмма растёт без порога, при зональной анизотропии пороги по направлениям разные, а малая область не даёт ей выйти на порог.

Қате

«Эффект самородков — ошибка измерений, его надо убрать».

Шын мәнінде

В него входит и изменчивость мельче шага данных. Если его занизить, кригинг и моделирование покажут пласт более непрерывным, чем он есть.

Қате

«Карта кригинга — реалистичная картина пласта».

Шын мәнінде

Это наилучшая оценка в каждой точке, но она сглажена: крайние значения и связность занижены. Для расчётов вытеснения используют реализации моделирования.

Қате

«Вертикальная вариограмма по каротажу годится и для горизонтальных направлений».

Шын мәнінде

Горизонтальные радиусы в десятки и сотни раз больше вертикальных. Их берут из геологии, аналогов, горизонтальных скважин и сейсмики.

Толық: тереңдетілген

Откуда система кригинга

Ошибка оценки $e = \sum_i \lambda_i Z(x_i) - Z(x_0)$ . Если $\sum_i \lambda_i = 1$ , неизвестное среднее в ошибке сокращается — оценка несмещённая. Дисперсию такой ошибки можно выразить через вариограмму: $\mathrm{Var}\,e = 2\sum_i \lambda_i\,\gamma_{i0} - \sum_i\sum_j \lambda_i\lambda_j\,\gamma_{ij}$ .

Наименьшую дисперсию при условии $\sum_i \lambda_i = 1$ ищут методом множителей Лагранжа: приравнивают нулю производные по каждому $\lambda_i$ функции $\mathrm{Var}\,e - 2\mu\left(\sum_j \lambda_j - 1\right)$ . Получаются $n$ уравнений $\sum_j \lambda_j\gamma_{ij} + \mu = \gamma_{i0}$ и условие на сумму весов — система урока. Умножив каждое уравнение на $\lambda_i$ и сложив, находим $\sum_i\sum_j\lambda_i\lambda_j\gamma_{ij} = \sum_i\lambda_i\gamma_{i0} - \mu$ , и дисперсия ошибки при найденных весах $\sigma_K^2 = \sum_i \lambda_i\gamma_{i0} + \mu$ .

Почему вариограмму нельзя нарисовать любой

Дисперсия любой комбинации значений $\sum_i w_i Z(x_i)$ с $\sum_i w_i = 0$ равна $-\sum_i\sum_j w_i w_j\,\gamma_{ij}$ и не может быть отрицательной. Произвольная кривая, проведённая через экспериментальные точки, этому условию может не удовлетворять, и тогда кригинг даёт отрицательную дисперсию или неустойчивые веса. Поэтому пользуются проверенными функциями — сферической, экспоненциальной, гауссовой, степенной (без порога), эффектом самородков — и их суммами с неотрицательными коэффициентами. Сферическая модель разрешена в одном, двух и трёх измерениях; степенная модель $h^{\omega}$ — при $0 < \omega < 2$ , и она описывает свойство без порога, в том числе с изменчивостью на всех масштабах.

Вариограмма и размер ячейки: эффект носителя

Значение в ячейке модели — среднее по её объёму $v$ , а не точечное измерение. Дисперсия средних по ячейкам меньше точечной: $\sigma_v^2 = \sigma^2 - \bar\gamma(v, v)$ , где $\bar\gamma(v, v)$ — среднее значение вариограммы по всем парам точек внутри ячейки. Если ячейка много меньше радиуса, $\bar\gamma$ лишь немногим больше эффекта самородков, и дисперсия уменьшается почти только на него. Если ячейка сравнима с радиусом или больше его, значения в ячейках сглажены, а вариограмма ячеек ниже и положе точечной; эффект самородков при осреднении по ячейке практически исчезает.

Поэтому вариограмму, полученную по керну или каротажу, перед моделированием пересчитывают к размеру ячейки (регуляризуют), а при укрупнении модели дисперсия свойств уменьшается ещё раз (Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке). Та же причина объясняет, почему проницаемость по исследованию скважины разбросана меньше, чем по керну: исследование осредняет огромный объём.

Басқа тақырыптармен байланыс

Неоднородность пласта и осреднение проницаемости — длина корреляции и расположение участков разной проницаемости.
Распределения и достаточность выборки — распределения, стандартная ошибка и эффективное число независимых данных.
Описательная статистика в геологии — дисперсия и меры разброса, к которым приходит вариограмма на пороге.
Структурные карты: данные и построение изолиний — построение карт: метод обратных расстояний и минимальная кривизна.
Строение коллектора и поведение пласта при разработке — форма и размеры тел, связность и объектные модели.
Сетки в гидродинамических моделях — сетка модели и размер ячеек.
Ремасштабирование проницаемости при однофазном потоке — укрупнение моделей и осреднение свойств по ячейкам.
Особые вопросы ремасштабирования — когда укрупнение не работает: длина корреляции против размера ячейки.
Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло — вероятностная оценка запасов и неопределённость.
Моделирование на практике: примеры применения — расчёты на наборах геостатистических реализаций.
Практическая структурная геология — структура месторождения и данные разного масштаба.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Вариограмма средней пористости по скважинам, стоящим через 400 м, начинается со скачка, равного 40 % порога. Что это значит?
1. А.Пористость имеет тренд
2. Б.Лаборатория ошиблась, и данные надо отбросить
3. В.Заметная часть изменчивости — на расстояниях меньше 400 м или это ошибки измерений; соседние скважины похожи друг на друга лишь частично
4. Г.Радиус корреляции равен 400 м
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. Заметная часть изменчивости — на расстояниях меньше 400 м или это ошибки измерений; соседние скважины похожи друг на друга лишь частично
Эффект самородков объединяет ошибки измерения и изменчивость мельче шага данных. При шаге 400 м в него попадают все тела и слои меньше этого размера. Соседние значения при этом всё ещё коррелированы, но слабее: даже на малом шаге коэффициент корреляции не больше $1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .
2
Пористость в точках через 100 м: 20, 22, 21, 18, 19 %. Найдите экспериментальную вариограмму на шагах 100 и 200 м и сравните с дисперсией выборки.
Жауабын көрсету
Шаг 100 м: разности 2, −1, −3, 1; квадраты 4, 1, 9, 1, сумма 15; $\hat\gamma(100) = 15/(2\cdot4) = 1{,}875$ %². Шаг 200 м: разности 1, −4, −2; сумма квадратов 21; $\hat\gamma(200) = 21/6 = 3{,}5$ %². Дисперсия выборки: среднее 20, сумма квадратов отклонений 10, $s^2 = 10/4 = 2{,}5$ %². Вариограмма на 200 м выше дисперсии — по трём парам это обычное колебание, и подбирать по такой точке модель нельзя.
3
Какая модель вариограммы описывает свойство, которое меняется на малых расстояниях плавнее всего?
1. А.Гауссова
2. Б.Чистый эффект самородков
3. В.Сферическая
4. Г.Экспоненциальная
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Гауссова
Гауссова модель растёт у начала координат параболически: на малых шагах значения почти не различаются, как у глубины кровли или толщины пласта. Сферическая и экспоненциальная растут линейно, а чистый самородок означает отсутствие корреляции на масштабе данных.
4
Порог вариограммы 4 %², на шаге 300 м вариограмма равна 3 %². Чему равны ковариация и коэффициент корреляции значений, разнесённых на 300 м?
Жауабын көрсету
$C(300) = 4 - 3 = 1$ %², $\rho(300) = 1 - 3/4 = 0{,}25$ . Значения на этом расстоянии коррелированы слабо: ковариация составляет лишь четверть дисперсии.
5
Две скважины стоят в 50 м одна от другой, обе в 400 м к западу от проектной точки; третья — в 400 м к востоку. Как кригинг распределит веса по сравнению с методом обратных расстояний, который даёт паре в сумме 2/3, а одиночной скважине 1/3?
1. А.Паре — заметно меньше 2/3 в сумме, одиночной скважине — заметно больше 1/3
2. Б.Паре — больше 2/3: две скважины надёжнее одной
3. В.Одиночной скважине — ноль
4. Г.Так же: веса зависят только от расстояния до точки
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Паре — заметно меньше 2/3 в сумме, одиночной скважине — заметно больше 1/3
Близкие скважины повторяют друг друга, и кригинг делит между ними вес как между почти одним источником сведений. С моделью урока паре достаётся около 0,53, одиночной скважине — около 0,47. Метод обратных расстояний этого не видит и переоценивает скопления данных.
6
Почему для гидродинамической модели строят не карту кригинга, а несколько реализаций стохастического моделирования?
Жауабын көрсету
Кригинг даёт наилучшую оценку в каждой точке, но сглаженную: его дисперсия меньше дисперсии данных, крайние значения и выдержанные высокопроницаемые полосы пропадают, а именно они определяют прорывы воды и охват. Реализации воспроизводят гистограмму и вариограмму и совпадают со скважинами, а их различия показывают неопределённость прогноза. Течение рассчитывают на нескольких реализациях и получают диапазон добычи, а не одно число.

Жаңартылған: 19 октября 2026 г.