Структурные карты: данные и построение изолиний

Қысқаша негізгісі

Изолиния соединяет точки равного значения и отделяет большие значения от меньших. Изогипса — горизонтальная линия на поверхности пласта: изогипсы идут по простиранию, их сгущение означает более крутое падение.
Кровлю наносят туда, где её вскрыл ствол: у наклонной скважины — в точку, рассчитанную по инклинометрии, на глубине по вертикали ниже уровня моря, а не у устья и не по глубине по стволу.
Сечение одинаково на всей карте; его выбирают не мельче точности глубин и так, чтобы на самых крутых крыльях изолинии не сливались, а внутри ловушки их было достаточно для расчёта объёмов.
Метод треугольников (механическое построение) воспроизводим, но считает пласт плоским в каждом треугольнике: изолинии угловатые, а свод не может оказаться выше самой высокой скважины.
Метод обратных расстояний рисует «мишени» вокруг скважин и вдали от них выполаживает поверхность к среднему по данным; метод минимальной кривизны строит самую гладкую поверхность через точки, может восстановить свод между скважинами, но за пределами данных продолжает уклоны.
Карта по одним скважинам почти всегда упрощает структуру: форму между скважинами дают сейсмика и геологическая модель. На любой карте показывают точки данных, сечение, метод и ноль отсчёта глубин.

Негізгі қатынастар

z = H - h_{\text{р}},\qquad z_{\text{абс}} = -z

глубина точки ниже уровня моря по глубине по вертикали $H$ от стола ротора и альтитуде стола ротора $h_{\text{р}}$ ; абсолютная отметка

s_c = L\,\frac{c - z_a}{z_b - z_a}

где изолиния значения $c$ пересекает отрезок длиной $L$ между точками со значениями $z_a$ и $z_b$ (линейная интерполяция)

\hat z = \frac{\sum_i z_i/d_i^{\,p}}{\sum_i 1/d_i^{\,p}}

метод обратных расстояний; обычно $p = 2$

\nabla^4 z = 0

минимальная кривизна: между точками данных поверхность подчиняется бигармоническому уравнению — как изогнутая тонкая пластина

Жиі қателіктер

Наносить кровлю наклонной скважины у устья или по глубине по стволу.
Смешивать глубины ниже уровня моря и абсолютные отметки или терять знак альтитуды стола ротора там, где поверхность земли ниже уровня моря.
Брать сечение мельче точности данных: изолинии через 2 м по сейсмическим глубинам с погрешностью в десятки метров — ложная точность.
Считать компьютерную карту объективной: её вид зависит от метода, размера ячейки, радиуса поиска и сглаживания, которые выбирает человек.
Доверять изолиниям за пределами скважин: там работает уже не интерполяция, а экстраполяция.

Сабақтан кейін сіз

перечислять данные структурной карты и приводить их к одной системе: положение кровли в наклонной скважине по инклинометрии, глубины ниже уровня моря, сейсмические горизонты, пересчитанные в глубины и увязанные со скважинами;
выбирать сечение изолиний и строить их вручную методом треугольников — линейной интерполяцией между скважинами;
различать механическое, равноотстоящее, параллельное и интерпретационное проведение изолиний и объяснять, в какую сторону каждое искажает структуру;
объяснять, как программа строит сетку методами обратных расстояний и минимальной кривизны, и оценивать глубину в проектной точке разными способами;
различать виды карт: структурные, толщин (изопахит и изохор), эффективных толщин и свойств пласта;
распознавать «мишени» вокруг скважин, пересекающиеся изолинии, краевые эффекты и ошибки нулей отсчёта и знаков.

Изолинии и виды карт

Изолиния (contour) — линия на карте, во всех точках которой величина одинакова; она отделяет область больших значений от области меньших. Карта изолиний превращает рассеянные измерения в непрерывную картину, по которой читают форму поверхности, тренды и аномалии. Главные карты нефтегазовой геологии — структурные (structure maps): их изолинии — изогипсы, линии равной глубины кровли или подошвы пласта. Как по изогипсам найти угол и азимут падения и как решают задачу трёх точек, разобрано в теме изогипсы и разрезы; здесь речь о том, как такие карты строят.

Глубины на структурных картах отсчитывают от уровня моря. В отечественной практике изогипсы подписывают абсолютными отметками: ниже уровня моря они отрицательны (−2410, −2420…). В англоязычной — глубинами ниже уровня моря (true vertical depth subsea, TVDSS) со знаком плюс. Обе записи законны; ошибка — смешать их на одной карте или не указать, какая принята. В этом уроке, как и в теме Напряжения, деформации и методы структурного анализа, подписаны глубины ниже уровня моря $z$ , а абсолютная отметка $z_{\text{абс}} = -z$ .

Какие карты строят изолиниями

Карта: Структурная, по кровле или подошве пласта
Изолинии: изогипсы — равные глубины или абсолютные отметки
Для чего: форма ловушки, свод, замыкание, глубины проектных скважин

Карта: Карта изопахит
Изолинии: равные истинные толщины — по нормали к напластованию
Для чего: как меняется толщина пласта; направление сноса

Карта: Карта изохор
Изолинии: равные толщины по вертикали
Для чего: объём пород между двумя поверхностями

Карта: Карта эффективных (нефтенасыщенных) толщин
Изолинии: равная толщина коллектора, выделенного по граничным значениям
Для чего: подсчёт запасов (Подсчёт запасов объёмным методом)

Карта: Карты свойств
Изолинии: равная пористость, проницаемость, давление (изобары), температура (изотермы)
Для чего: свойства для подсчёта запасов и моделей

Карта: Литолого-фациальная карта, карта под несогласием
Изолинии: границы пород или их доли; выходы пластов под поверхностью несогласия
Для чего: где коллектор и покрышка, где пласт срезан

Карта	Изолинии	Для чего
Структурная, по кровле или подошве пласта	изогипсы — равные глубины или абсолютные отметки	форма ловушки, свод, замыкание, глубины проектных скважин
Карта изопахит	равные истинные толщины — по нормали к напластованию	как меняется толщина пласта; направление сноса
Карта изохор	равные толщины по вертикали	объём пород между двумя поверхностями
Карта эффективных (нефтенасыщенных) толщин	равная толщина коллектора, выделенного по граничным значениям	подсчёт запасов (Подсчёт запасов объёмным методом)
Карты свойств	равная пористость, проницаемость, давление (изобары), температура (изотермы)	свойства для подсчёта запасов и моделей
Литолого-фациальная карта, карта под несогласием	границы пород или их доли; выходы пластов под поверхностью несогласия	где коллектор и покрышка, где пласт срезан

Истинная толщина связана с толщиной по вертикали через угол падения: $h = h_\text{в}\cos\delta$ (толщина пласта в скважине). Как получают карты толщин вычитанием двух структурных поверхностей и строят по картам разрезы — в теме Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах, как по картам считают объём пород — в теме Общий объём пород по картам.

Изолинии подчиняются нескольким правилам, и все они следуют из того, что изолиния — линия равного значения на однозначной поверхности:

Не пересекаются и не сливаются. В каждой точке карты поверхность имеет одну глубину. Исключение — вертикальные и нависающие участки (сместитель взброса, опрокинутое крыло): там одна точка карты лежит над двумя точками поверхности, и каждый блок показывают отдельно.
Проходят между большими и меньшими значениями. По одну сторону изолинии все значения больше её, по другую — меньше; изолиния 2420 м не может пройти так, что точка 2431 м окажется на стороне меньших глубин.
Повторяются на перегибе. Где уклон меняет знак — на своде, в синклинали, в седловине, — одна и та же изолиния встречается по обе стороны перегиба.
Замыкаются или уходят за край. Изолиния либо замкнута в пределах карты, либо обрывается на её краю или на разломе; в пустоте она не заканчивается.
Сечение постоянно. Сечение (contour interval) — разность значений соседних изолиний — одинаково на всей карте. Изолинии подписывают, а замкнутые понижения отмечают бергштрихами — короткими штрихами в сторону понижения.

Почему карта — интерпретация

Скважины дают глубину пласта в нескольких точках на квадратный километр, а поверхность между ними приходится восстанавливать. Чем реже данные, тем больше разных поверхностей им удовлетворяют: одни и те же точки можно провести как один купол, как два свода с седловиной между ними или как блоки между разломами. Каждой версии отвечают своё замыкание, свой объём пород и своё место для следующей скважины. Поэтому вместе с картой всегда показывают данные, по которым она построена.

Данные для структурной карты

Все данные наносят на основу (base map) в одной системе координат — обычно прямоугольной, в метрах, в проекции Гаусса — Крюгера или UTM (Universal Transverse Mercator; системы отсчёта). Азимуты приводят к сеточному северу карты, а глубины — к одному уровню, уровню моря.

Отбивка (formation pick, top) — глубина, на которой по каротажу, керну или шламу выделена кровля пласта. Её снимают с диаграммы в глубине по стволу (measured depth, MD) от стола ротора. Карте нужны три числа: координаты точки, где ствол пересёк кровлю, и глубина этой точки ниже уровня моря $z = H - h_{\text{р}}$ . Здесь $H$ — глубина по вертикали от стола ротора, $h_{\text{р}}$ — альтитуда стола ротора; она отрицательна, если стол ротора ниже уровня моря, как на побережье Каспия. У вертикальной скважины точка лежит под устьем и $H$ равна глубине по стволу. У наклонной точка может отстоять от устья на сотни метров, а $H$ на сотни метров меньше глубины по стволу; их рассчитывают по инклинометрии методом минимальной кривизны (Расчёт траектории скважины по инклинометрии).

Есептеу мысалыКровля пласта в наклонной скважине: где она на карте

Бастапқы деректер (шартты)

Куст скважин 8 и 11: устье в точке x = 650 м, y = 450 м; альтитуда стола ротора $h_{\text{р}} = -14{,}0$ м (земля на 20 м ниже уровня моря, стол ротора на 6 м выше земли)
Отбивка кровли в наклонной скв. 11: 2651,6 м по стволу
Инклинометрия в точке отбивки (минимальная кривизна): зенитный угол 31,2°, азимут 11,9°; смещение от устья на север 863,4 м, на восток 202,4 м; глубина по вертикали $H = 2414{,}6$ м
Вертикальная скв. 8 того же куста: кровля на глубине 2486,2 м ниже уровня моря

Шешім

Координаты кровли на карте: $x = 650 + 202{,}4 = 852{,}4$ м, $y = 450 + 863{,}4 = 1313{,}4$ м. От устья точка отстоит на $\sqrt{863{,}4^2 + 202{,}4^2} = 886{,}8$ м.
Глубина ниже уровня моря: $z = 2414{,}6 - (-14{,}0) = 2428{,}6$ м; абсолютная отметка −2428,6 м.
Если по ошибке нанести у устья глубину по стволу, приведённую к уровню моря, получится $2651{,}6 + 14{,}0 = 2665{,}6$ м — на 237,0 м глубже истинной. Если нанести верную глубину 2428,6 м, но у устья, в одной точке карты окажутся две глубины кровли: 2428,6 м от скв. 11 и 2486,2 м от скв. 8 — расхождение 57,6 м.
Чувствительность к погрешностям инклинометрии: если бы все замеры зенитного угла ниже точки зарезки были завышены на 0,2°, кровля оказалась бы выше на 3,1 м и сместилась в плане на 5,8 м; ошибка азимута на 0,5° сместила бы её в плане на 7,7 м.

Жауап: Кровлю скв. 11 наносят в точку x = 852,4 м, y = 1313,4 м — в 886,8 м от устья — с глубиной 2428,6 м ниже уровня моря (абсолютная отметка −2428,6 м).

Бұл нені білдіреді. Ошибки нанесения — сотни метров в плане, десятки и сотни метров по глубине — в несколько раз больше сечения карты (10 м): нанесённая у устья, кровля скв. 11 создала бы на кусте ложный «бугор» высотой почти 60 м рядом с вертикальной скв. 8. Погрешности самой инклинометрии на порядок меньше — метры по вертикали и метры в плане, — но они растут с длиной наклонного ствола, и для глубоких скважин с большим отходом их учитывают. Данные примера условные.

Отбивки кровли пласта — данные карт этого урока

Скважина: 1
x, м: 2100
y, м: 1450
z, м: 2400,9

Скважина: 2
x, м: 2850
y, м: 2050
z, м: 2416,6

Скважина: 3
x, м: 1350
y, м: 1000
z, м: 2432,4

Скважина: 4
x, м: 2550
y, м: 750
z, м: 2503,4

Скважина: 5
x, м: 1700
y, м: 2450
z, м: 2451,8

Скважина: 6
x, м: 3550
y, м: 1300
z, м: 2504,2

Скважина: 7
x, м: 550
y, м: 2100
z, м: 2471,2

Скважина: 8
x, м: 650
y, м: 450
z, м: 2486,2

Скважина: 9
x, м: 3300
y, м: 2750
z, м: 2459,0

Скважина: 10
x, м: 3250
y, м: 300
z, м: 2529,5

Скважина: 11 (наклонная, с куста скв. 8)
x, м: 852,4
y, м: 1313,4
z, м: 2428,6

Скважина	x, м	y, м	z, м
1	2100	1450	2400,9
2	2850	2050	2416,6
3	1350	1000	2432,4
4	2550	750	2503,4
5	1700	2450	2451,8
6	3550	1300	2504,2
7	550	2100	2471,2
8	650	450	2486,2
9	3300	2750	2459,0
10	3250	300	2529,5
11 (наклонная, с куста скв. 8)	852,4	1313,4	2428,6

Координаты — от юго-западного угла участка 4 × 3 км, x на восток, y на север; $z$ — глубина кровли ниже уровня моря. Скважины 1–10 вертикальные; у скв. 11 указана точка, где ствол пересёк кровлю (пример выше). Самая высокая отбивка — 2400,9 м, самая глубокая — 2529,5 м. Данные условные.

Сейсмические данные покрывают площадь густо — отражающий горизонт прослеживают в каждой точке съёмки, через десятки метров, — но измеряют время: двойное время пробега волны до границы и обратно, в миллисекундах. Время переводят в глубину по скоростной модели (Интерпретация сейсмических разрезов); до увязки со скважинами ошибка такой глубины может составлять проценты от глубины, то есть десятки метров. Поэтому сейсмическую поверхность увязывают со скважинами: в каждой скважине находят поправку — разность между отбивкой и сейсмической глубиной в той же точке, — строят карту поправок и прибавляют её к сейсмической поверхности. Скважины дают точность глубин, сейсмика — форму поверхности между скважинами; лучшие карты соединяют то и другое.

Кроме глубин на карту выносят и другие данные. Углы и азимуты падения по наклонометрии и скважинным имиджам подсказывают направление изогипс у скважины. Точки, где стволы пересекли разломы, ограничивают блоки. Контакты флюидов, выходы пластов под поверхность несогласия, контуры распространения коллектора нужны для карт залежи.

Ручное построение: треугольники и сечение

Построение начинают с выбора сечения. Оно определяется тремя соображениями:

Точность данных. Сечение не мельче погрешности глубин: по отбивкам в скважинах с погрешностью около метра можно проводить изолинии через 5–10 м, по сейсмическим глубинам до увязки — только через десятки метров.
Читаемость. На самом крутом крыле изолинии не должны сливаться. Расстояние между ними $w = \Delta z/\mathrm{tg}\,\delta$ : при падении 7° и сечении 10 м это около 80 м, или 3 мм на карте масштаба 1:25 000.
Назначение. Для расчёта объёма ловушки внутри замыкания нужно хотя бы 4–5 изолиний; для обзорной региональной карты достаточно десятков метров.

Для участка урока глубины отбивок лежат в пределах от 2400,9 до 2529,5 м, погрешность отбивок — около метра, падение крыльев — до 7–8°. Сечение 10 м соответствует точности данных, даёт 12 изолиний на всю карту и не сливается на крыльях.

Самый простой и воспроизводимый способ провести изолинии вручную — метод треугольников (triangulation), или механическое построение (mechanical contouring). Он исходит из того, что между соседними скважинами уклон поверхности постоянен:

Построение изолиний методом треугольников

1
Соединить скважины в треугольники
Соединяют ближайшие точки так, чтобы стороны не пересекались, а треугольники были по возможности близки к равносторонним; длинных узких треугольников по краю данных избегают.
2
Выбрать сечение
По точности данных, крутизне крыльев и назначению карты.
3
Разметить стороны
На каждой стороне находят точки, где проходят изолинии, линейной интерполяцией между значениями на её концах.
4
Соединить точки одного значения
Внутри каждого треугольника изолинии — прямые параллельные отрезки на равных расстояниях.
5
Проверить
Каждая изолиния отделяет большие значения от меньших, изолинии не пересекаются, подписаны, понижения отмечены.

Где изолиния пересекает сторону треугольника

s_c = L\,\frac{c - z_a}{z_b - z_a}

мұндағы:

$s_c$ расстояние от точки $a$ вдоль стороны до точки, где проходит изолиния значения $c$ , м
$L$ длина стороны между точками $a$ и $b$ , м
$z_a,\ z_b$ значения в концах стороны (глубины кровли в двух скважинах), м
$c$ значение изолинии, лежащее между $z_a$ и $z_b$ , м

Бірліктер: любые одинаковые единицы длины; значения — в одних единицах

Мына жағдайда орындалады

поверхность между двумя точками считают плоской (уклон постоянен) — это допущение метода, а не свойство пласта;
изолиния пересекает сторону, только если её значение лежит между $z_a$ и $z_b$ .

Изолинии на стороне идут через равные промежутки $L\,\Delta z_c/(z_b - z_a)$ , где $\Delta z_c$ — сечение. Внутри треугольника поверхность — плоскость через три скважины, та же, что в задаче трёх точек; поэтому изолинии в нём прямые и параллельные, а на сторонах, где плоскости соседних треугольников встречаются под углом, они преломляются.

ЕсептеуКарта кровли пласта по 11 отбивкам методом треугольников: сеть треугольников Делоне (тонкие серые линии), изолинии через 10 м, подписи — глубины ниже уровня моря. Наклонная скв. 11 пробурена с куста скв. 8: штрих — проекция ствола на план. Звёздочка — проектная скв. 12, пунктир А–А′ — линия разреза из следующего раздела. Узкий треугольник 7–8–11 у западного края даёт уклон около 11° там, где в модели около 3,5°: длинные узкие треугольники по краю данных искажают карту.

Есептеу мысалыИзолинии в треугольнике скважин 1–2–5

Бастапқы деректер (шартты)

Скв. 1: x = 2100 м, y = 1450 м, кровля на 2400,9 м
Скв. 2: x = 2850 м, y = 2050 м, кровля на 2416,6 м
Скв. 5: x = 1700 м, y = 2450 м, кровля на 2451,8 м
Сечение: 10 м

Шешім

Сторона 1–5: длина $\sqrt{400^2 + 1000^2} = 1077{,}0$ м, разность глубин $2451{,}8 - 2400{,}9 = 50{,}9$ м. Изолиния 2410 м пересекает её в $1077{,}0\cdot 9{,}1/50{,}9 = 192{,}5$ м от скв. 1, изолинии 2420, 2430, 2440 и 2450 м — в 404,1, 615,7, 827,3 и 1038,9 м: каждая следующая на $1077{,}0\cdot 10/50{,}9 = 211{,}6$ м дальше.
Сторона 2–5: длина 1217,6 м, разность глубин 35,2 м; изолинии 2420, 2430, 2440 и 2450 м — в 117,6, 463,5, 809,4 и 1155,3 м от скв. 2 (шаг 345,9 м). Сторона 1–2: длина 960,5 м, разность 15,7 м — её пересекает только изолиния 2410 м, в 556,7 м от скв. 1.
Соединяем точки одного значения: изолинию 2410 м — между сторонами 1–2 и 1–5, изолинии 2420–2450 м — между сторонами 1–5 и 2–5. Получаются пять параллельных отрезков; последний, 2450 м, — короткий, у самой скв. 5 (2451,8 м).
Проверка задачей трёх точек (изогипсы): уклоны отметки кровли на восток и на север $g_x = 0{,}014990$ и $g_y = -0{,}044904$ , $\mathrm{tg}\,\delta = 0{,}04734$ , угол падения 2,71°, азимут падения 341,5°. Изолинии идут по простиранию 71,5–251,5° через $10/0{,}04734 = 211{,}2$ м.
В соседнем треугольнике 1–5–11 плоскость падает под 2,76° на азимут 326,5°: переходя сторону 1–5, изолинии поворачивают на 15°.

Жауап: В треугольнике 1–2–5 изолинии 2410–2450 м — прямые отрезки по простиранию 71,5–251,5° через 211,2 м; на сторонах треугольника они преломляются.

Бұл нені білдіреді. Сторона 1–5 почти совпадает с направлением падения, поэтому шаг изолиний вдоль неё (211,6 м) почти равен расстоянию между ними по нормали (211,2 м) — удобная проверка. Метод ничего не добавляет к данным: поверхность — набор плоских граней, изломы на сторонах — свойство метода, а не пласта, и свод не может оказаться выше скв. 1. Зато результат воспроизводим: по одним данным два специалиста получат одну карту. Поэтому механическую карту берут как исходную для интерпретации и как нейтральную, когда интерпретации расходятся. Данные примера условные.

Механическое построение — лишь один из четырёх способов проводить изолинии вручную. Они различаются тем, что допускают между скважинами, и поэтому по-разному искажают структуру:

Четыре способа ручного проведения изолиний

Способ: Механический (по треугольникам)
Допущение: уклон между соседними скважинами постоянен
Что получается: воспроизводимая угловатая карта; своды и впадины не выходят за крайние значения данных — структура скорее преуменьшена

Способ: Равноотстоящий (equal spacing)
Допущение: угол падения одинаков на всём крыле; изолинии через равные расстояния, найденные на самом надёжном участке или по наклонометрии
Что получается: своды выше, впадины глубже, чем в скважинах, возможны замыкания вне данных — самая оптимистичная версия

Способ: Параллельный (parallel)
Допущение: изолинии идут параллельно друг другу, а расстояния между ними могут меняться
Что получается: плавная карта, повторяющая общий рисунок структуры; по смелости — между механическим и равноотстоящим

Способ: Интерпретационный (interpretive)
Допущение: учтены все данные и представления о геологии: стиль складок и разломов, направление сноса, сейсмика
Что получается: самая правдоподобная, но субъективная карта; разные специалисты получат разные версии

Способ	Допущение	Что получается
Механический (по треугольникам)	уклон между соседними скважинами постоянен	воспроизводимая угловатая карта; своды и впадины не выходят за крайние значения данных — структура скорее преуменьшена
Равноотстоящий (equal spacing)	угол падения одинаков на всём крыле; изолинии через равные расстояния, найденные на самом надёжном участке или по наклонометрии	своды выше, впадины глубже, чем в скважинах, возможны замыкания вне данных — самая оптимистичная версия
Параллельный (parallel)	изолинии идут параллельно друг другу, а расстояния между ними могут меняться	плавная карта, повторяющая общий рисунок структуры; по смелости — между механическим и равноотстоящим
Интерпретационный (interpretive)	учтены все данные и представления о геологии: стиль складок и разломов, направление сноса, сейсмика	самая правдоподобная, но субъективная карта; разные специалисты получат разные версии

Сравнивать способы полезно на одной и той же сетке скважин: расхождение между ними — честная мера неопределённости карты там, где нет сейсмики.

Что вкладывают в интерпретационную карту

Кроме глубин в скважинах интерпретационная карта учитывает знания, которые числами не выражены: простирание складок района, форму структур на сейсмике, ориентировку разломов, направление береговой линии и сноса — для карт толщин и свойств, которые зависят от условий осадконакопления. Карту обязательно согласуют с разрезами по ней: одна интерпретация — для всех построений. С новыми скважинами её пересматривают.

Компьютерное построение: сетка и интерполяция

Программа не рисует изолинии сразу. Сначала она покрывает площадь регулярной сеткой (grid) квадратных ячеек и оценивает значение в каждом узле по ближайшим данным — это построение сетки (gridding), а результат называют сеточной моделью поверхности, или гридом. Потом изолинии проводят по сетке тем же линейным делением сторон ячеек, что и сторон треугольников при ручном построении. Всё решает способ оценки в узлах.

Триангуляция (triangulated irregular network, TIN) — компьютерный вариант метода треугольников. Обычно строят триангуляцию Делоне (Delaunay): треугольники выбирают так, чтобы внутри окружности, описанной около любого из них, не оказалось других точек. Из всех способов разбить точки на треугольники этот делает наименьший угол треугольников наибольшим, поэтому треугольники получаются близкими к равносторонним. Вне многоугольника, натянутого на крайние скважины, поверхность не определена.

Метод обратных расстояний (inverse distance weighting, IDW) оценивает значение в узле как среднее значений в скважинах, взятых с весами: чем дальше скважина, тем меньше её вес.

Метод обратных расстояний

\hat z(x, y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i\,z_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i},\qquad w_i = \frac{1}{d_i^{\,p}}

мұндағы:

$\hat z$ оценка значения в точке $(x, y)$ — в узле сетки или в проектной скважине, м
$z_i$ значение в $i$ -й точке данных, м
$d_i$ расстояние от точки $(x, y)$ до $i$ -й точки данных, м
$p$ показатель степени; обычно 2, —
$n$ число учитываемых точек: все или ближайшие в радиусе поиска, —

Бірліктер: любые согласованные: расстояния и значения в своих единицах; веса входят только отношением

Мына жағдайда орындалады

в самой точке данных оценка равна её значению;
вес зависит только от расстояния — не от направления и не от того, что одна скважина «загорожена» другой; поэтому программы ограничивают число точек и берут их по секторам.

Ближние точки весят больше дальних: при $p = 2$ скважина вдвое ближе весит вчетверо больше. Оценка — взвешенное среднее, поэтому всегда лежит между наименьшим и наибольшим значениями данных: метод не может поднять свод выше самой высокой скважины. При $p > 1$ уклон поверхности в каждой точке данных нулевой — вокруг скважин появляются площадки и замкнутые изолинии, «мишени». Вдали от данных веса выравниваются, и поверхность стремится к среднему значению по всем скважинам.

Метод минимальной кривизны (minimum curvature) ищет из всех поверхностей, проходящих через точки данных, самую плавную — ту, у которой суммарный квадрат кривизны наименьший. Физическая аналогия — тонкая упругая пластина, которую прижали к точкам данных: она изгибается ровно настолько, насколько её заставляют точки.

Условие минимальной кривизны

\iint \left(z_{xx}^2 + 2\,z_{xy}^2 + z_{yy}^2\right) dx\,dy \to \min,\qquad z(x_i, y_i) = z_i

мұндағы:

$z(x, y)$ искомая поверхность, м
$z_{xx},\ z_{xy},\ z_{yy}$ вторые производные поверхности по координатам — меры её кривизны, 1/м
$(x_i, y_i),\ z_i$ точки данных и значения в них, м

Бірліктер: согласованные единицы длины

Мына жағдайда орындалады

поверхность гладкая и непрерывная; разломы в ней не предусмотрены — их задают отдельно, иначе программа «сгладит» уступ в изгиб;
между точками данных такая поверхность подчиняется бигармоническому уравнению $\nabla^4 z = 0$ ; программа решает его на сетке итерациями.

Поверхность сохраняет уклоны, приходящие к скважинам, и продолжает их между ними, поэтому может подняться выше самой высокой скважины — восстановить свод, лежащий между скважинами. Обратная сторона — «перехлёст» (overshoot): там, где близкие точки резко различаются, и за пределами данных поверхность выгибается выше или ниже действительности. Чтобы ограничить перехлёст, в уравнение вводят «натяжение» (tension), делающее поверхность менее гибкой.

Есть и другие способы. Поверхность тренда (trend surface) — полином от координат, подобранный по методу наименьших квадратов: через точки он не проходит, зато показывает региональный наклон, а отклонения от него (остатки) выделяют локальные структуры. Кригинг (kriging) взвешивает точки с учётом того, на каком расстоянии значения пласта ещё похожи друг на друга, и вместе с картой даёт оценку её погрешности; ему нужны достаточно густые данные и вариограмма (Пространственная корреляция и вариограмма).

Размер ячейки. Ячейка, сравнимая с расстоянием между скважинами, сглаживает структуру и не позволяет поверхности пройти через отбивки; обычно её берут в несколько раз меньше расстояния между соседними скважинами, а при сейсмических данных — сопоставимой с шагом сейсмической сетки.
Радиус поиска и число точек. Слишком малый радиус оставляет узлы без данных и рвёт поверхность; слишком большой тянет в оценку далёкие скважины из других частей структуры.
Сглаживание. Делает изолинии красивее, но уводит поверхность от данных: после сглаживания проверяют расхождения в скважинах.
Разломы. Если не задать разлом линией или многоугольником, программа проведёт поверхность через него непрерывно, и уступ превратится в крутой изгиб (Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах).

ЕсептеуОдни и те же 11 отбивок, построенные тремя методами, и поверхность модели, из которой они взяты. Изолинии через 10 м, жирные — через 50 м; точки — скважины, крестик — истинный свод. Триангуляция определена только внутри сети скважин (серым — вне её); метод обратных расстояний рисует «мишени» и выполаживает углы карты; минимальная кривизна ближе всех к модели, но тоже не дотягивает до свода.

Есептеу мысалыГлубина кровли в проектной скважине по трём картам

Бастапқы деректер (шартты)

Проектная скв. 12: x = 2000 м, y = 1750 м — внутри треугольника 1–2–5, в 316 м к северо-северо-западу от скв. 1
Данные: 11 отбивок из таблицы выше
Метод обратных расстояний: все 11 скважин, $p = 2$

Шешім

Треугольники — плоскость скв. 1–2–5 из предыдущего примера. При смещении от скв. 1 на 100 м к западу глубина кровли растёт на $100\cdot 0{,}014990 = 1{,}499$ м, на 300 м к северу — на $300\cdot 0{,}044904 = 13{,}471$ м: $z = 2400{,}9 + 1{,}499 + 13{,}471 = 2415{,}9$ м.
Обратные расстояния: до скв. 1 — 316,2 м, вес $1/316{,}2^2 = 10{,}002\cdot 10^{-6}$ м⁻²; до скв. 5, 2 и 3 — 761,6, 901,4 и 992,5 м, веса 1,724, 1,231 и 1,015 в тех же единицах $10^{-6}$ м⁻². Сумма весов всех 11 скважин — 17,166.
Удобно усреднять отклонения от круглой глубины 2400 м: сумма произведений весов на отклонения $\sum w_i(z_i - 2400) = 403{,}8$ , из них четыре ближайшие скважины дают 151,6, остальные семь — 252,2. Оценка $\hat z = 2400 + 403{,}8/17{,}166 = 2423{,}5$ м.
Минимальная кривизна (расчёт программой по тем же 11 точкам): 2398,5 м.
Скв. 12 пробурили: кровля на 2384,9 м.

Жауап: Прогноз кровли — 2415,9 м по треугольникам, 2423,5 м по обратным расстояниям и 2398,5 м по минимальной кривизне; фактически она на 2384,9 м.

Бұл нені білдіреді. Все три карты поместили кровлю глубже, чем она оказалась: свод лежит между скважинами, на 16 м выше самой высокой из них, скв. 1. Треугольники и обратные расстояния не могут подняться выше 2400,9 м по самому устройству. Метод обратных расстояний к тому же тянет оценку к среднему по скважинам: четыре ближайшие скважины дают 81 % суммы весов, но семь далёких и глубоких — бо́льшую часть суммы отклонений. Минимальная кривизна продолжила уклоны крыльев к своду и ошиблась меньше всех, но и она не знает того, чего нет в данных. Форму свода между скважинами показывает сейсмика; карта по одним скважинам занизит замыкание ловушки и объём пород. Данные примера условные.

ЕсептеуРазрез по линии А–А′ с изломами в скв. 5, 1 и 4: кровля по модели и по трём методам. Треугольники дают ломаную только внутри сети скважин; обратные расстояния — площадки у скважин и выполаживание за крайними скважинами; минимальная кривизна поднимается к своду между скв. 5 и 1 и продолжает уклоны за пределы данных.

Типичные ошибки и как их распознать

Признаки ошибок на карте

Что видно: Замкнутые изолинии вокруг отдельных скважин — «мишени» (bull's eyes)
Возможная причина: метод обратных расстояний; ошибочная отбивка; глубина с другим нулём отсчёта
Что сделать: сравнить скважину с соседями и сейсмикой; проверить отбивку и альтитуду; сменить метод

Что видно: Изолинии пересекаются или сливаются
Возможная причина: ошибка построения; на одной карте две поверхности — блоки взброса, опрокинутое крыло
Что сделать: проверить значения; строить блоки раздельно

Что видно: Свод, замыкание или крутой уклон в углу карты
Возможная причина: краевой эффект: экстраполяция за пределами скважин
Что сделать: показать границу области данных; не брать с этой части замыкание и объёмы

Что видно: Изломы изолиний по линиям между скважинами
Возможная причина: механическая интерполяция по треугольникам
Что сделать: это свойство метода, а не пласта; форму между скважинами даёт сейсмика

Что видно: Ступенька в десятки метров у одной скважины
Возможная причина: наклонная скважина нанесена у устья или по глубине по стволу; потерян знак альтитуды
Что сделать: пересчитать по инклинометрии и проверить нули отсчёта

Что видно: Плавный рисунок там, где сейсмика видит складку
Возможная причина: слишком крупная ячейка или сильное сглаживание
Что сделать: уменьшить ячейку, ослабить сглаживание

Что видно	Возможная причина	Что сделать
Замкнутые изолинии вокруг отдельных скважин — «мишени» (bull's eyes)	метод обратных расстояний; ошибочная отбивка; глубина с другим нулём отсчёта	сравнить скважину с соседями и сейсмикой; проверить отбивку и альтитуду; сменить метод
Изолинии пересекаются или сливаются	ошибка построения; на одной карте две поверхности — блоки взброса, опрокинутое крыло	проверить значения; строить блоки раздельно
Свод, замыкание или крутой уклон в углу карты	краевой эффект: экстраполяция за пределами скважин	показать границу области данных; не брать с этой части замыкание и объёмы
Изломы изолиний по линиям между скважинами	механическая интерполяция по треугольникам	это свойство метода, а не пласта; форму между скважинами даёт сейсмика
Ступенька в десятки метров у одной скважины	наклонная скважина нанесена у устья или по глубине по стволу; потерян знак альтитуды	пересчитать по инклинометрии и проверить нули отсчёта
Плавный рисунок там, где сейсмика видит складку	слишком крупная ячейка или сильное сглаживание	уменьшить ячейку, ослабить сглаживание

Краевой эффект (edge effect) — расхождение методов там, где за ближайшими скважинами данных уже нет. В юго-восточном углу участка урока (x = 3900, y = 200 м), за скв. 10, кровля модели лежит на 2535,4 м. Метод обратных расстояний даёт 2500,8 м — на 35 м выше: вдали от данных он тянется к среднему по скважинам (2462,2 м) и рисует ложное выполаживание, а то и ложное замыкание. Минимальная кривизна даёт 2545,4 м — на 10 м глубже: она продолжила уклон, приходящий к краю, и проскочила. Ни одна из этих цифр не измерена — это экстраполяция, и на хорошей карте область без данных выделяют.

Неопределённость карты растёт с удалением от скважин: у скважины глубина известна с точностью отбивки, на полпути к соседней — с точностью метода и сейсмики, за крайними скважинами — только с точностью допущений. Если несколько карт одинаково согласуются с данными, их не усредняют, а используют как сценарии: глубину проектной скважины задают диапазоном, объём пород считают для низкого, базового и высокого вариантов (Общий объём пород по картам, Вероятностная оценка запасов методом Монте-Карло). Каждая новая скважина — проверка карты; расхождение прогноза и отбивки показывает, насколько карте можно доверять в остальных местах.

Терминдер мен белгілер

Изолиния, изогипса: линия равного значения на карте; изогипса — линия равной глубины (абсолютной отметки) геологической поверхности.
Сечение изолиний: разность значений соседних изолиний; постоянно на всей карте.
Глубина ниже уровня моря и абсолютная отметка: $z = H - h_{\text{р}}$ (TVDSS, со знаком плюс) и $z_{\text{абс}} = -z$ (ниже уровня моря отрицательна).
Отбивка: глубина, на которой выделена кровля (подошва) пласта по каротажу, керну или шламу; снимается по стволу и пересчитывается в координаты и глубину ниже уровня моря.
Карта изопахит и карта изохор: карты равных истинных толщин (по нормали к слоям) и равных толщин по вертикали.
Метод треугольников: механическое построение изолиний: линейная интерполяция по сторонам треугольников, соединяющих соседние точки; на компьютере — триангуляция Делоне (TIN).
Сетка (грид): регулярная сеть узлов, в которых программа оценивает значение поверхности; изолинии проводят по ней.
Метод обратных расстояний: оценка в узле как среднее значений точек данных с весами $1/d^p$ .
Метод минимальной кривизны: самая плавная поверхность через точки данных (модель тонкой упругой пластины).
«Мишень»: замкнутые изолинии вокруг отдельной точки данных; артефакт метода или признак ошибочной точки.
Краевой эффект: искажения поверхности за пределами области данных, где интерполяция сменяется экстраполяцией.

Жиі қателіктер

Қате

«Наклонную скважину можно нанести у устья: кровля ведь та же».

Шын мәнінде

Кровлю наносят в точку, где её пересёк ствол, по инклинометрии. В примере урока точка отстоит от устья почти на 900 м, а нанесённая у устья кровля разошлась бы с соседней вертикальной скважиной на 58 м.

Қате

«Компьютерная карта объективна, ручная субъективна».

Шын мәнінде

Компьютерная карта зависит от метода, размера ячейки, радиуса поиска, сглаживания и обработки разломов — всё это выбирает человек. Она воспроизводима при тех же настройках, но не «истинна».

Қате

«Чем мельче сечение, тем точнее карта».

Шын мәнінде

Сечение не может быть точнее данных: изолинии через 2 м по глубинам с погрешностью 10–20 м рисуют не пласт, а шум интерполяции.

Қате

«Свод структуры — там, где самая высокая скважина».

Шын мәнінде

Скважины редко попадают точно в свод. Треугольники и обратные расстояния не поднимут поверхность выше самой высокой скважины; в примере урока истинный свод лежит между скважинами на 16 м выше.

Қате

«Нулевую изолинию карты толщин проводят через скважины с нулевой толщиной».

Шын мәнінде

Нулевая изолиния — граница распространения пласта; она проходит между скважинами, где пласт есть, и скважинами, где его нет.

Толық: тереңдетілген

Почему у обратных расстояний «мишени», а у треугольников изломы

Пусть точка $(x, y)$ приближается к скважине $i$ , так что $d_i \to 0$ . Вычтем из оценки значение $z_i$ и разделим числитель и знаменатель на вес $w_i$ :

Оценка обратных расстояний вблизи скважины

\hat z - z_i = \frac{\sum_{j \ne i} (d_i/d_j)^p\,(z_j - z_i)}{1 + \sum_{j \ne i} (d_i/d_j)^p}

мұндағы:

$d_i,\ d_j$ расстояния от точки до скважины $i$ и до остальных скважин $j$ , м
$z_i,\ z_j$ значения в скважинах, м
$p$ показатель степени метода, —

Бірліктер: согласованные единицы

Мына жағдайда орындалады

тождественное преобразование формулы метода; учитываются все скважины $j \ne i$ из радиуса поиска.

При $d_i \to 0$ отклонение от значения в скважине убывает как $d_i^{\,p}$ . При $p > 1$ это быстрее, чем само расстояние, — уклон поверхности в скважине нулевой, и вокруг неё образуется площадка. При $p = 1$ поверхность в скважине имеет излом, как вершина конуса, при $p < 1$ — острый пик. Чем больше $p$ , тем шире площадки и резче переходы между ними; при очень больших $p$ карта распадается на ступени вокруг скважин.

У триангуляции другая беда: поверхность непрерывна, но её наклон скачком меняется на каждой стороне треугольника, где встречаются две плоскости. Отсюда изломы изолиний. Сама триангуляция Делоне однозначна, если никакие четыре точки не лежат на одной окружности; при таком совпадении диагональ четырёхугольника выбирают произвольно, и две программы могут дать немного разные карты.

Минимальная кривизна: тонкая пластина и её точное решение

Для точек на неограниченной плоскости задача минимальной кривизны решается явно. Поверхность записывается как $z = a_0 + a_1 x + a_2 y + \sum_i c_i\,U(r_i)$ , где $r_i$ — расстояние до $i$ -й точки, а $U(r) = r^2\ln r$ — решение бигармонического уравнения для точечной силы, приложенной к пластине. Коэффициенты находят из $n + 3$ линейных уравнений: поверхность проходит через все $n$ точек, а $\sum c_i = \sum c_i x_i = \sum c_i y_i = 0$ . Это сплайн тонкой пластины (thin-plate spline); карты урока посчитаны именно так.

Программы картирования решают то же уравнение на сетке: в каждом узле, где нет данных, значение итерациями подбирают так, чтобы конечно-разностный аналог $\nabla^4 z$ был равен нулю, а узлы у точек данных подтягивают к их значениям. Вдали от данных поверхность стремится к наклонной плоскости — отсюда продолжение уклонов за краем. «Натяжение» $T$ меняет уравнение на $(1 - T)\nabla^4 z - T\nabla^2 z = 0$ : при $T = 0$ получается минимальная кривизна, при $T = 1$ — поверхность, натянутая на точки, как мембрана, без перехлёстов, но с изломами в точках данных.

Басқа тақырыптармен байланыс

Напряжения, деформации и методы структурного анализа — изогипсы, угол падения по ним, задача трёх точек, разрезы с искажённым масштабом.
Расчёт траектории скважины по инклинометрии — как по инклинометрии рассчитывают положение и глубину точки ствола.
Наклонно-направленные скважины: применение и профиль — нули отсчёта глубин, альтитуда стола ротора, абсолютные отметки и системы координат.
Корреляция скважин — как получают согласованные отбивки, по которым строят карты.
Разрезы по картам, совмещение карт и разломы на картах — разрезы по картам, карты толщин как разность поверхностей, разломы на картах.
Общий объём пород по картам — объём пород залежи по структурным картам.
Пространственная корреляция и вариограмма — пространственная изменчивость и кригинг.
Ловушки и время их формирования — свод, замыкание и точка перелива ловушки.
Интерпретация сейсмических разрезов — прослеживание отражающих горизонтов и перевод времени в глубину.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Отбивки кровли на участке — от 1812 до 1897 м с погрешностью около метра, крылья падают до 6°, карта нужна для расчёта объёма ловушки высотой около 40 м. Какое сечение разумно?
1. А.50 м
2. Б.5 м
3. В.1 м
4. Г.25 м
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. 5 м
При сечении 5 м внутри замыкания поместится 8 изолиний — достаточно для объёмов, — а на крыле с падением 6° они пройдут через $5/\mathrm{tg}\,6° \approx 48$ м, около 2 мм на карте масштаба 1:25 000. Сечение 1 м почти равно погрешности отбивок и сольётся на крыльях; 25 и 50 м дадут внутри ловушки не больше одной-двух изолиний.
2
Кровля пласта отбита в наклонной скважине на глубине 3105,0 м по стволу. По инклинометрии в этой точке глубина по вертикали от стола ротора 2846,3 м, смещение от устья 412 м на север и 655 м на восток; альтитуда стола ротора +32,0 м. Найдите глубину кровли ниже уровня моря, её абсолютную отметку и положение относительно устья.
Жауабын көрсету
$z = H - h_{\text{р}} = 2846{,}3 - 32{,}0 = 2814{,}3$ м ниже уровня моря, абсолютная отметка −2814,3 м. Отход $\sqrt{412^2 + 655^2} \approx 774$ м по азимуту $\mathrm{arctg}(655/412) \approx 57{,}8°$ — на северо-восток. Здесь альтитуда положительная, и её вычитают; на побережье Каспия она отрицательна, и глубина ниже уровня моря получается больше глубины от стола ротора.
3
Какой из способов построения не может поднять свод выше самой высокой скважины?
1. А.Интерпретационное проведение изолиний
2. Б.Метод минимальной кривизны
3. В.Равноотстоящее проведение изолиний
4. Г.Триангуляция и метод обратных расстояний
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Г. Триангуляция и метод обратных расстояний
Линейная интерполяция в треугольнике и взвешенное среднее обратных расстояний всегда лежат между значениями данных. Минимальная кривизна продолжает уклоны и может подняться выше; равноотстоящее и интерпретационное построения прямо допускают свод между скважинами.
4
Почему вокруг скважин на карте, построенной методом обратных расстояний, появляются замкнутые изолинии, и почему их стало больше, когда показатель степени увеличили с 2 до 4?
Жауабын көрсету
У самой скважины её вес неограниченно растёт, и оценка стремится к её значению быстрее, чем растёт расстояние: при $p > 1$ уклон в скважине нулевой, вокруг неё образуется площадка, которую изолинии обходят замкнутым кольцом. С ростом $p$ влияние каждой скважины становится резче: площадки шире, переходы между ними круче, и карта распадается на ступени вокруг скважин. Геологии в этих кольцах нет — это свойство метода.
5
На карте изолинии −2450 и −2460 м пересекаются в двух точках. Что это может означать?
1. А.Седловину между двумя сводами
2. Б.Нормальное явление при малом сечении
3. В.Ошибку построения или две поверхности на одной карте — например, блоки взброса
4. Г.Очень крутое падение пласта
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. Ошибку построения или две поверхности на одной карте — например, блоки взброса
Однозначная поверхность не может иметь две глубины в одной точке, поэтому изолинии разных значений не пересекаются ни при каком падении и сечении. Пересечение законно только там, где поверхность нависает сама над собой, — у взброса или опрокинутого крыла; тогда блоки картируют раздельно. В остальных случаях это ошибка.
6
В углу карты, где нет скважин, метод обратных расстояний показывает пологое замыкание, а минимальная кривизна — продолжающееся погружение. Какой карте верить и что делать?
Жауабын көрсету
Ни одной: обе цифры — экстраполяция. Метод обратных расстояний вдали от данных стремится к среднему по скважинам и рисует ложное выполаживание и замыкания; минимальная кривизна продолжает уклоны и может проскочить. Нужны данные — сейсмика или скважина; до тех пор область без данных выделяют на карте и не используют для расчёта замыкания и объёмов.

Жаңартылған: 15 октября 2026 г.