Структура осадков: размер, сортировка и форма зёрен

Қысқаша негізгісі

В отечественной петрографии размер, сортировку, форму и укладку зёрен называют структурой породы (по-английски texture), а слоистость и другие особенности сложения — текстурой (sedimentary structures).
Шкала Уддена — Вентворта построена на удвоении: границы классов — …, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2 мм, …; песок — от 1/16 до 2 мм. Единицы $\varphi = -\log_2 d$ ( $d$ в миллиметрах) делают её равномерной: каждый класс шириной ровно в одну единицу φ, и чем больше φ, тем мельче зёрна.
Размеры зёрен распределены примерно логнормально, поэтому статистики считают в единицах φ по накопленной кривой: средний размер $M_z$ , сортировку $\sigma_I$ (меньше 0,5 — хорошая, больше 1 — плохая), асимметрию $Sk_I$ (плюс — избыток мелкого материала, минус — крупного).
Сито, лазер, отстаивание и шлиф измеряют разные «диаметры» одного и того же зерна; сравнивать можно только результаты одного метода.
Форму описывают на трёх уровнях: соотношение осей и сферичность, окатанность углов, облик поверхности. Сферичность и окатанность независимы: окатанный диск сферичным не станет.
Пористость укладки одинаковых зёрен от их размера не зависит, но падает, когда мелкие зёрна заполняют поры крупных. Проницаемость растёт примерно как квадрат размера зерна и падает с ухудшением сортировки.

Негізгі қатынастар

\varphi = -\log_2 d,\qquad d = 2^{-\varphi}

размер в единицах φ; $d$ — в миллиметрах

M_z = \dfrac{\varphi_{16} + \varphi_{50} + \varphi_{84}}{3}

средний размер по Фолку и Уорду

\sigma_I = \dfrac{\varphi_{84} - \varphi_{16}}{4} + \dfrac{\varphi_{95} - \varphi_{5}}{6{,}6}

сортировка — стандартное отклонение размеров в единицах φ

k \approx 760\,d_g^{\,2}\,e^{-1{,}31\,\sigma}

проницаемость рыхлого песка в дарси; $d_g$ — средний геометрический диаметр, мм

Жиі қателіктер

Путать единицы φ с пористостью: в этом уроке размер в единицах фи обозначен $\varphi$ , а пористость — $\phi$ .
Забывать, что шкала φ обратная: 3 φ — мелкий песок (0,125 мм), −1 φ — гравий (2 мм).
Сравнивать словесные классы разных систем: «хорошо отсортированный» песок при подборе фильтров ( $D_{40}/D_{90}$ до 3) и у геолога ( $\sigma_I$ до 0,5) — не одно и то же.
Считать «окатанный» синонимом «круглого»: окатанность говорит о сглаженности углов, а не о близости зерна к шару.
Называть породу по размеру зёрен, не проверив шкалу: 0,08 мм — очень мелкий песок по Вентворту, но алеврит по шкале с границей песка 0,1 мм.

Сабақтан кейін сіз

переводить размер зёрен из миллиметров в единицы φ и обратно, называть класс по шкале Уддена — Вентворта и учитывать, что отечественные десятичные шкалы проводят границы иначе;
объяснять, что на самом деле измеряют ситовый, лазерный и седиментационный анализ и анализ шлифов и почему их результаты различаются;
находить по накопленной кривой средний размер, сортировку, асимметрию и эксцесс по Фолку и Уорду и называть их словесные классы;
описывать форму зерна — класс по Зинггу, сферичность и окатанность — и объяснять, почему это независимые свойства;
объяснять, как укладка и доля мелких зёрен меняют пористость, и оценивать начальную проницаемость рыхлого песка по его среднему размеру и сортировке.

Что входит в структуру осадка

Обломочный осадок — это зёрна, принесённые водой, ветром или льдом, и пространство между ними. Структура описывает сами зёрна и то, как они расположены. Её составляющие удобно перечислить в том порядке, в каком их обычно описывают в керне:

Размер зёрен (grain size): главный признак: по нему породу называют конгломератом, песчаником, алевролитом или глиной (классы по размеру).
Сортировка (sorting): насколько близки размеры зёрен — от «все зёрна почти одинаковы» до «смесь от глины до гальки». В отечественных описаниях хорошо отсортированную породу называют также равномернозернистой, плохо отсортированную — разнозернистой.
Форма и окатанность (shape, roundness): соотношение длины, ширины и толщины зерна; насколько сглажены его углы и рёбра; облик поверхности — блестящая, матовая, с наросшими кристаллами.
Укладка и ориентировка (packing, fabric): как зёрна касаются друг друга, держат ли они каркас сами или «плавают» в тонком заполнителе, вытянуты ли они в одном направлении.
Матрикс и цемент: тонкий обломочный заполнитель, отложившийся вместе с зёрнами, и минералы, выросшие в порах после захоронения (каркас, матрикс и цемент).

Структура записывает условия переноса. Сила течения решает, какие зёрна оно унесёт, а какие оставит; долгий перенос сортирует и окатывает зёрна; а поток, который сбрасывает весь свой груз сразу, — сель или подводный оползень — оставляет смесь всех размеров. Последовательность «вымыта глина → зёрна отсортированы → зёрна окатаны» называют структурной зрелостью (textural maturity) песка: чем дальше по ней продвинулся осадок, тем дольше и сильнее его перерабатывали течения, волны или ветер (две «зрелости» песчаника).

Стадии структурной зрелости песка

Стадия: Незрелый (immature)
Признаки: глинистого матрикса больше 5 %, зёрна плохо отсортированы и угловаты

Стадия: Полузрелый (submature)
Признаки: глины меньше 5 %, но сортировка умеренная или плохая ( $\sigma_I$ больше 0,5)

Стадия: Зрелый (mature)
Признаки: глины почти нет, сортировка хорошая ( $\sigma_I$ меньше 0,5), зёрна ещё угловатые

Стадия: Сверхзрелый (supermature)
Признаки: глины нет, сортировка хорошая, зёрна окатаны

Стадия	Признаки
Незрелый (immature)	глинистого матрикса больше 5 %, зёрна плохо отсортированы и угловаты
Полузрелый (submature)	глины меньше 5 %, но сортировка умеренная или плохая ( $\sigma_I$ больше 0,5)
Зрелый (mature)	глины почти нет, сортировка хорошая ( $\sigma_I$ меньше 0,5), зёрна ещё угловатые
Сверхзрелый (supermature)	глины нет, сортировка хорошая, зёрна окатаны

Схема Фолка. Пески пляжей и пустынных дюн обычно зрелые и сверхзрелые, отложения селей и ледников — незрелые. Если признаки противоречат друг другу (например, окатанные зёрна в глинистом матриксе), это подсказка: материал разного происхождения смешан, например окатанный песок древних дюн переотложен селевым потоком.

Нефтянику структура нужна по нескольким причинам:

начальные пористость и проницаемость песка задаются его структурой, а уже потом их меняют уплотнение и цемент (последний раздел урока);
гравий и фильтры против выноса песка подбирают по гранулометрии пласта (ситовый анализ песка пласта);
структура вместе с текстурами помогает восстановить обстановку осадконакопления, а по ней — форму и протяжённость песчаных тел;
от доли тонкой фракции и прочности каркаса зависят миграция мелких частиц и вынос песка при добыче (Пескопроявление: виды, прогноз и цена проблемы).

Размер зёрен: шкала Уддена — Вентворта и единицы φ

Размеры обломков в осадках различаются в миллионы раз — от долей микрометра у глинистых частиц до метров у валунов. Поэтому шкалы размеров строят не равными шагами, а умножением. В шкале Уддена — Вентворта (Udden–Wentworth grade scale) каждая граница вдвое больше предыдущей; главные границы — 2 мм (гравий и песок), 1/16 мм (песок и алеврит) и 1/256 мм (алеврит и глина), а песок делят ещё на пять классов по границам 1, 1/2, 1/4 и 1/8 мм.

Что считать размером неправильного зерна, зависит от способа измерения. Через квадратную ячейку сита зерно проходит, повернувшись к ней двумя меньшими осями, поэтому ситовый размер близок к промежуточной оси зерна; у гальки ту же ось меряют штангенциркулем. Другие методы дают эквивалентный диаметр — шара того же объёма или шара, оседающего с той же скоростью (следующий раздел).

Размер зерна в единицах φ

\varphi = -\log_2\frac{d}{d_0},\qquad d = d_0\cdot 2^{-\varphi}

мұндағы:

$\varphi$ размер зерна в единицах фи (phi units), —
$d$ диаметр зерна, мм
$d_0$ единичный размер, 1 мм: делает аргумент логарифма безразмерным, мм

Бірліктер: $d$ и $d_0$ — в миллиметрах; $\varphi$ безразмерна

Мына жағдайда орындалады

логарифм по основанию 2: $\log_2 x = \ln x/\ln 2 \approx 3{,}322\,\lg x$ ;
знак минус выбран так, чтобы песок и более мелкие частицы имели положительные значения φ; у гравия и более крупных обломков φ отрицательны.

Шаг в одну единицу φ — изменение размера вдвое, поэтому все классы Вентворта имеют одинаковую ширину в 1 φ. В этих единицах распределение размеров природного осадка становится близким к нормальному, и к нему применимы обычные статистики — среднее, стандартное отклонение, асимметрия.

Шкала Уддена — Вентворта

Класс: Валуны (boulders)
Размер, мм: больше 256
φ: меньше −8

Класс: Булыжники (cobbles)
Размер, мм: 64–256
φ: от −6 до −8

Класс: Галька (pebbles)
Размер, мм: 4–64
φ: от −2 до −6

Класс: Гравий (granules)
Размер, мм: 2–4
φ: от −1 до −2

Класс: Песок очень крупный (very coarse)
Размер, мм: 1–2
φ: от 0 до −1

Класс: Песок крупный (coarse)
Размер, мм: 0,5–1
φ: 1–0

Класс: Песок средний (medium)
Размер, мм: 0,25–0,5
φ: 2–1

Класс: Песок мелкий (fine)
Размер, мм: 0,125–0,25
φ: 3–2

Класс: Песок очень мелкий (very fine)
Размер, мм: 0,0625–0,125
φ: 4–3

Класс: Алеврит (silt)
Размер, мм: 0,0039–0,0625
φ: 8–4

Класс: Глина (clay)
Размер, мм: меньше 0,0039
φ: больше 8

Класс	Размер, мм	φ
Валуны (boulders)	больше 256	меньше −8
Булыжники (cobbles)	64–256	от −6 до −8
Галька (pebbles)	4–64	от −2 до −6
Гравий (granules)	2–4	от −1 до −2
Песок очень крупный (very coarse)	1–2	от 0 до −1
Песок крупный (coarse)	0,5–1	1–0
Песок средний (medium)	0,25–0,5	2–1
Песок мелкий (fine)	0,125–0,25	3–2
Песок очень мелкий (very fine)	0,0625–0,125	4–3
Алеврит (silt)	0,0039–0,0625	8–4
Глина (clay)	меньше 0,0039	больше 8

Алеврит делят на четыре класса шириной по 1 φ: крупный (4–5 φ), средний, мелкий и очень мелкий (7–8 φ). Породу называют по преобладающему классу: «мелкозернистый песчаник» — песчаник, в котором больше всего зёрен мелкого песка.

В отечественных описаниях керна часто пользуются десятичными шкалами, и единой среди них нет. Типичный вариант: границы 1; 0,5; 0,25 и 0,1 мм делят песок на грубо-, крупно-, средне- и мелкозернистый, частицы 0,05–0,1 мм в одних шкалах считают тонкозернистым песком, в других — крупным алевритом, а границу алеврита и глины проводят по 0,01 или 0,005 мм. Классы крупнее 0,25 мм — грубо-, крупно- и среднезернистый — совпадают с вентвортовскими (очень крупный, крупный и средний песок), а мелкие сдвинуты: «мелкозернистый» песок десятичной шкалы — 0,1–0,25 мм, а не 0,125–0,25 мм, и зерно 0,08 мм окажется либо тонкозернистым песком, либо крупным алевритом.

Есептеу мысалыПеревод размеров в единицы φ и названия классов

Бастапқы деректер (шартты)

Зерно песка из шлама (промежуточная ось): 0,35 мм
Модальный размер в отчёте о гранулометрии: 3,6 φ
Галька из конгломерата (промежуточная ось): 24 мм

Шешім

Зерно песка: $\varphi = -\log_2 0{,}35 = -\ln 0{,}35/\ln 2 = 1{,}51$ — между 1 и 2 φ: средний песок. По десятичной шкале (0,25–0,5 мм) — тоже среднезернистый.
Размер из отчёта: $d = 2^{-3{,}6} = 0{,}082$ мм, то есть около 82 мкм — между 3 и 4 φ: очень мелкий песок по Вентворту. По десятичной шкале с нижней границей песка 0,1 мм это уже крупный алеврит, с границей 0,05 мм — тонкозернистый песок.
Галька: $\varphi = -\log_2 24 = -4{,}58$ — в классе гальки (от −2 до −6 φ).

Жауап: 0,35 мм — это 1,51 φ (средний песок); 3,6 φ — 0,082 мм (очень мелкий песок, а по некоторым отечественным шкалам — крупный алеврит); 24 мм — −4,58 φ (галька).

Бұл нені білдіреді. Шкала φ превращает умножение в сложение: «вдвое мельче» — значит «на единицу φ больше», поэтому средние и разбросы размеров удобно считать именно в φ. Второй результат показывает, почему в описании керна указывают шкалу: зерно 0,08 мм попадает в песок или в алеврит в зависимости от неё, а с ним меняется и название породы — песчаник или алевролит. Данные примера условные.

Обратная шкала и чужая буква

Шкала φ обратная: чем больше число, тем мельче зерно. Глина — больше 8 φ, гравий — отрицательные значения. В отчётах лазерных анализаторов размеры дают и в микрометрах, и в φ — проверьте, в чём именно.
Буквой φ геологи обозначают и размер зёрен, и пористость. В этом уроке размер в единицах фи записан как $\varphi$ , а пористость — как $\phi$ ; в других материалах обозначения могут совпадать, и смысл приходится понимать из контекста.

Как измеряют размер зёрен

Для анализа рыхлый песок или породу, разобранную на отдельные зёрна, делят на фракции по размеру и находят долю каждой. Зёрна при этом нельзя дробить: обломки зёрен сместят результат в сторону мелких размеров. Сцементированный песчаник разобрать на зёрна без потерь не удаётся — его размеры измеряют в шлифе.

Методы гранулометрического анализа

Метод: Ситовый (sieving)
Диапазон: примерно от 0,04 мм до десятков миллиметров
Что измеряет: массу зёрен между соседними ситами; размер близок к промежуточной оси
Ограничения: мелочь отмывают на сите 0,063 мм; плоские зёрна проходят ячейку «ребром»

Метод: Лазерная дифракция (laser diffraction)
Диапазон: от долей микрометра до 2–3 мм
Что измеряет: объёмную долю «эквивалентных шаров», рассеивающих свет так же, как зёрна
Ограничения: плоские частицы кажутся крупнее; глины выходит меньше, чем по отстаиванию

Метод: Седиментационный (пипетка, ареометр)
Диапазон: мельче 0,063 мм
Что измеряет: диаметр шара, оседающего с той же скоростью
Ограничения: медленно; частицы разделяют диспергатором, иначе они слипаются

Метод: Шлиф, анализ изображений
Диапазон: зёрна в сцементированной породе
Что измеряет: видимые сечения зёрен (число зёрен, а не их масса)
Ограничения: случайный срез меньше зерна; нужен пересчёт к ситовым размерам

Метод	Диапазон	Что измеряет	Ограничения
Ситовый (sieving)	примерно от 0,04 мм до десятков миллиметров	массу зёрен между соседними ситами; размер близок к промежуточной оси	мелочь отмывают на сите 0,063 мм; плоские зёрна проходят ячейку «ребром»
Лазерная дифракция (laser diffraction)	от долей микрометра до 2–3 мм	объёмную долю «эквивалентных шаров», рассеивающих свет так же, как зёрна	плоские частицы кажутся крупнее; глины выходит меньше, чем по отстаиванию
Седиментационный (пипетка, ареометр)	мельче 0,063 мм	диаметр шара, оседающего с той же скоростью	медленно; частицы разделяют диспергатором, иначе они слипаются
Шлиф, анализ изображений	зёрна в сцементированной породе	видимые сечения зёрен (число зёрен, а не их масса)	случайный срез меньше зерна; нужен пересчёт к ситовым размерам

Результаты разных методов систематически различаются, поэтому критерии и корреляции применяют к данным того метода, по которым их получили.

Результат любого метода — доли массы (или объёма) по фракциям. По ним строят гистограмму и накопленную кривую: какая доля пробы крупнее каждого размера. При подборе гравия по такой кривой находят размеры $D_{10}$ , $D_{50}$ , $D_{90}$ и коэффициент неоднородности (ситовый анализ песка пласта); геолог описывает ту же кривую своими статистиками в единицах φ (следующий раздел).

Для фракций мельче 0,063 мм сита не годятся: ячейки такого размера быстро забиваются, а глинистые частицы слипаются. Их разделяют отстаиванием. Пробу взбалтывают в высоком цилиндре с водой и диспергатором и в рассчитанные моменты отбирают пипеткой немного взвеси с заданной глубины — или измеряют плотность взвеси ареометром. Время отбора следует из скорости оседания мелких частиц.

Скорость оседания мелкой частицы (закон Стокса)

w = \frac{(\rho_s - \rho_f)\,g\,d^2}{18\,\mu}

мұндағы:

$w$ установившаяся скорость оседания частицы, м/с
$\rho_s$ плотность частицы; у кварца 2650, кг/м³
$\rho_f$ плотность воды; при 20 °C около 998, кг/м³
$g$ ускорение свободного падения, 9,81, м/с²
$d$ диаметр частицы, м
$\mu$ динамическая вязкость воды; при 20 °C около $1{,}00\cdot10^{-3}$ , Па·с

Бірліктер: СИ

Мына жағдайда орындалады

одиночная гладкая шарообразная частица в неподвижной воде, вдали от стенок и других частиц;
медленное обтекание: число Рейнольдса частицы $\rho_f w d/\mu$ меньше примерно 0,5 — для кварца в воде при 20 °C это частицы мельче примерно 0,08 мм;
частицы не слипаются: в пробу добавляют диспергатор.

Скорость оседания растёт как квадрат диаметра: частица вдвое мельче оседает вчетверо медленнее. Поэтому через известное время на заданной глубине во взвеси остаются только частицы мельче определённого размера. Тот же закон объясняет, почему тонкий ил оседает лишь в спокойной воде (перенос и отложение).

Есептеу мысалыСколько ждать при пипеточном анализе

Бастапқы деректер (шартты)

Частицы: кварц, 2650 кг/м³
Вода при 20 °C: 998 кг/м³; $1{,}00\cdot10^{-3}$ Па·с
Глубина отбора пробы: 10 см
Границы классов: песок — алеврит 0,0625 мм; алеврит — глина 0,0039 мм; для сравнения — граница 0,01 мм десятичных шкал

Шешім

Граница песка и алеврита: $w = \dfrac{1652\cdot 9{,}81\cdot(62{,}5\cdot10^{-6})^2}{18\cdot10^{-3}} = 0{,}00352$ м/с, то есть 3,52 мм/с. Путь 100 мм частица проходит за $100/3{,}52 \approx 28$ с.
Проверка условия Стокса: $\text{Re} = 998\cdot 0{,}00352\cdot 62{,}5\cdot10^{-6}/10^{-3} = 0{,}22$ — меньше 0,5, закон применим.
Граница алеврита и глины ( $d = 3{,}9$ мкм): $w = 0{,}0137$ мм/с, время — $100/0{,}0137/3600 \approx 2{,}0$ ч.
Граница 0,01 мм: $w = 0{,}0900$ мм/с, время — $100/0{,}0900/60 \approx 18{,}5$ мин.

Жауап: Через 28 с на глубине 10 см во взвеси остаются только частицы мельче 0,0625 мм, через 18,5 мин — мельче 0,01 мм, через 2,0 ч — только глинистые частицы мельче 0,0039 мм.

Бұл нені білдіреді. Пробу, отобранную пипеткой в каждый из этих моментов, высушивают и взвешивают и так находят массу частиц мельче каждого размера. Найденный размер — эквивалентный: глинистые частицы — тонкие пластинки, они оседают медленнее шара того же объёма и потому по отстаиванию выглядят мельче, чем по лазерному анализу. При температуре на 5 °C ниже вязкость воды больше примерно на 14 %, и время отбора увеличивают на столько же. Данные примера условные.

В шлифе плоскость среза проходит через зёрна случайно и чаще режет их не по центру, поэтому видимые сечения в среднем меньше зёрен: у шаров среднее сечение составляет $\pi/4 \approx 0{,}79$ диаметра (дополнительный раздел). К тому же в шлифе считают зёрна, а не массу. Поэтому размеры по шлифам пересчитывают к ситовым по эмпирическим зависимостям, а сортировка в шлифе выглядит хуже, чем у той же породы, разобранной на зёрна.

При описании керна размер и сортировку оценивают с лупой, сравнивая зёрна с эталонной карточкой — рядом зёрен известного размера и рисунками разной сортировки. Такая оценка быстрая и пригодна для называния породы, но для расчётов — подбора гравия, корреляций проницаемости — нужен лабораторный анализ (Лабораторный анализ керна).

Распределение размеров и статистики Фолка — Уорда

Размеры зёрен природного осадка распределены приблизительно логнормально (log-normal): нормально распределены не сами диаметры, а их логарифмы (логнормальное распределение). Поэтому в единицах φ распределение близко к нормальному, а накопленная кривая на вероятностной шкале — к прямой (вероятностный график). Изломы и хвосты на такой кривой говорят о смеси нескольких групп зёрен — например, о песке с примесью ила, оседавшего в другое время.

Чтобы описать кривую несколькими числами, по ней находят процентили $\varphi_p$ — размеры, крупнее которых $p$ % массы пробы. Это те же размеры $D_p$ , что и при подборе гравия, только в единицах φ: $\varphi_p = -\log_2 D_p$ . Линейная интерполяция между ситами в единицах φ — то же самое, что интерполяция в логарифмах размера.

Статистики Фолка и Уорда (Folk–Ward graphic measures) берут процентили так, чтобы охватить 90 % пробы — от 5-го до 95-го, — и для нормального в единицах φ распределения совпадают с его средним, стандартным отклонением и асимметрией. Их называют графическими: когда-то их снимали прямо с графика накопленной кривой.

Средний размер (графическое среднее)

M_z = \frac{\varphi_{16} + \varphi_{50} + \varphi_{84}}{3}

мұндағы:

$M_z$ средний размер зёрен, единицы φ
$\varphi_p$ размер, крупнее которого $p$ % массы пробы, единицы φ

Бірліктер: единицы φ

Мына жағдайда орындалады

процентили — по накопленной кривой массы (доли крупнее данного размера);
для нормального в единицах φ распределения $M_z$ совпадает со средним и с медианой $\varphi_{50}$ .

Медиана учитывает только середину кривой, $M_z$ — ещё и её «плечи». В миллиметрах средний размер $2^{-M_z}$ — это среднее геометрическое диаметров зёрен.

Сортировка (графическое стандартное отклонение)

\sigma_I = \frac{\varphi_{84} - \varphi_{16}}{4} + \frac{\varphi_{95} - \varphi_{5}}{6{,}6}

мұндағы:

$\sigma_I$ сортировка — стандартное отклонение размеров (inclusive graphic standard deviation), единицы φ
$\varphi_5,\ \varphi_{16},\ \varphi_{84},\ \varphi_{95}$ процентили размеров, единицы φ

Бірліктер: единицы φ

Мына жағдайда орындалады

формулу применяют только к размерам в единицах φ;
хвосты кривой должны быть измерены: если $\varphi_{95}$ приходится на поддон — фракцию, прошедшую последнее сито, — его не найти интерполяцией, и мелкую фракцию доизмеряют отстаиванием или лазером.

Для нормального распределения $\varphi_{84} - \varphi_{16} = 2\sigma$ и $\varphi_{95} - \varphi_5 = 3{,}29\sigma$ , поэтому каждое слагаемое даёт около $\sigma/2$ , а сумма — стандартное отклонение. Второе слагаемое следит за хвостами: примесь глины или гравия сильно увеличивает $\sigma_I$ , даже если середина кривой узкая.

Асимметрия (графическая асимметрия)

Sk_I = \frac{\varphi_{16} + \varphi_{84} - 2\varphi_{50}}{2(\varphi_{84} - \varphi_{16})} + \frac{\varphi_{5} + \varphi_{95} - 2\varphi_{50}}{2(\varphi_{95} - \varphi_{5})}

мұндағы:

$Sk_I$ асимметрия распределения (inclusive graphic skewness), —
$\varphi_{50}$ медианный размер, единицы φ

Бірліктер: безразмерная; процентили — в единицах φ

Мына жағдайда орындалады

знак зависит от единиц: в миллиметрах он противоположный, поэтому в отчёте указывают, в каких единицах считали;
для симметричной в единицах φ кривой оба слагаемых равны нулю.

Асимметрия лежит между −1 и +1. Положительная — у кривой длинный хвост мелких зёрен (больших φ): избыток мелкого материала; отрицательная — избыток крупного. Первое слагаемое смотрит на центральную часть кривой, второе — на хвосты.

Эксцесс (графический эксцесс)

K_G = \frac{\varphi_{95} - \varphi_{5}}{2{,}44\,(\varphi_{75} - \varphi_{25})}

мұндағы:

$K_G$ эксцесс — островершинность распределения (graphic kurtosis), —
$\varphi_{25},\ \varphi_{75}$ квартили размеров, единицы φ

Бірліктер: безразмерная

Мына жағдайда орындалады

для нормального распределения $K_G = 1$ : постоянная 2,44 — отношение размахов 5–95 % и 25–75 % нормальной кривой.

$K_G$ больше 1 (островершинное распределение) значит, что середина пробы отсортирована лучше её хвостов — как у хорошего песка с небольшой примесью чужого материала; меньше 1 (плосковершинное) — смесь близких по количеству групп зёрен. Классы: 0,67–0,90 — плосковершинное (меньше 0,67 — очень плосковершинное), 0,90–1,11 — нормальное, 1,11–1,50 — островершинное, 1,50–3,00 — очень островершинное, больше 3,00 — крайне островершинное.

Словесные классы сортировки

$\sigma_I$ , единицы φ: меньше 0,35
Песок…: очень хорошо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: 0,35–0,50
Песок…: хорошо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: 0,50–0,71
Песок…: умеренно хорошо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: 0,71–1,00
Песок…: умеренно отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: 1,00–2,00
Песок…: плохо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: 2,00–4,00
Песок…: очень плохо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ: больше 4,00
Песок…: крайне плохо отсортирован

$\sigma_I$ , единицы φ	Песок…
меньше 0,35	очень хорошо отсортирован
0,35–0,50	хорошо отсортирован
0,50–0,71	умеренно хорошо отсортирован
0,71–1,00	умеренно отсортирован
1,00–2,00	плохо отсортирован
2,00–4,00	очень плохо отсортирован
больше 4,00	крайне плохо отсортирован

Границы — по Фолку. Ориентиры: пески пустынных дюн и пляжей обычно хорошо или очень хорошо отсортированы, речные — умеренно, отложения селей и ледников — плохо и очень плохо.

Словесные классы асимметрии

$Sk_I$: от +0,30 до +1,00
Распределение: сильная асимметрия в сторону мелких зёрен

$Sk_I$: от +0,10 до +0,30
Распределение: асимметрия в сторону мелких зёрен

$Sk_I$: от −0,10 до +0,10
Распределение: почти симметричное

$Sk_I$: от −0,30 до −0,10
Распределение: асимметрия в сторону крупных зёрен

$Sk_I$: от −1,00 до −0,30
Распределение: сильная асимметрия в сторону крупных зёрен

$Sk_I$	Распределение
от +0,30 до +1,00	сильная асимметрия в сторону мелких зёрен
от +0,10 до +0,30	асимметрия в сторону мелких зёрен
от −0,10 до +0,10	почти симметричное
от −0,30 до −0,10	асимметрия в сторону крупных зёрен
от −1,00 до −0,30	сильная асимметрия в сторону крупных зёрен

Знаки — для расчёта в единицах φ.

Накопленная кривая пробы А в единицах φ

Ячейка сита, мм: 0,595
φ: 0,749
Накоплено крупнее, %: 0,3

Ячейка сита, мм: 0,420
φ: 1,252
Накоплено крупнее, %: 1,8

Ячейка сита, мм: 0,297
φ: 1,751
Накоплено крупнее, %: 6,0

Ячейка сита, мм: 0,250
φ: 2,000
Накоплено крупнее, %: 11,0

Ячейка сита, мм: 0,210
φ: 2,252
Накоплено крупнее, %: 18,0

Ячейка сита, мм: 0,177
φ: 2,498
Накоплено крупнее, %: 28,0

Ячейка сита, мм: 0,149
φ: 2,747
Накоплено крупнее, %: 41,0

Ячейка сита, мм: 0,125
φ: 3,000
Накоплено крупнее, %: 55,0

Ячейка сита, мм: 0,105
φ: 3,252
Накоплено крупнее, %: 68,0

Ячейка сита, мм: 0,088
φ: 3,506
Накоплено крупнее, %: 78,0

Ячейка сита, мм: 0,074
φ: 3,756
Накоплено крупнее, %: 86,0

Ячейка сита, мм: 0,053
φ: 4,238
Накоплено крупнее, %: 93,0

Ячейка сита, мм: 0,044
φ: 4,506
Накоплено крупнее, %: 96,0

Ячейка сита, мм	φ	Накоплено крупнее, %
0,595	0,749	0,3
0,420	1,252	1,8
0,297	1,751	6,0
0,250	2,000	11,0
0,210	2,252	18,0
0,177	2,498	28,0
0,149	2,747	41,0
0,125	3,000	55,0
0,105	3,252	68,0
0,088	3,506	78,0
0,074	3,756	86,0
0,053	4,238	93,0
0,044	4,506	96,0

Песок из примера урока о борьбе с пескопроявлением (те же сита и массы); через самое мелкое сито прошло 4 % пробы. Значения φ даны с тремя знаками, чтобы интерполяция воспроизводилась.

Есептеу мысалыСтатистики Фолка — Уорда двух проб

Бастапқы деректер (шартты)

Проба А: песок пласта; накопленная кривая — в таблице выше
Проба Б: хорошо отсортированный песок, 100 г на ситах через 0,25 φ; процентили $\varphi_5,\ \varphi_{16},\ \varphi_{25},\ \varphi_{50},\ \varphi_{75},\ \varphi_{84},\ \varphi_{95}$ : 0,77; 1,19; 1,34; 1,63; 1,89; 1,99; 2,23

Шешім

Проба А, $\varphi_{16}$ : 16 % лежит между ситами 0,250 мм (2,000 φ; 11,0 %) и 0,210 мм (2,252 φ; 18,0 %). Интерполяция: $2{,}000 + \dfrac{16 - 11}{18 - 11}\cdot 0{,}252 = 2{,}18$ .
Так же: $\varphi_5 = 1{,}63$ , $\varphi_{25} = 2{,}42$ , $\varphi_{50} = 2{,}91$ , $\varphi_{75} = 3{,}43$ , $\varphi_{84} = 3{,}69$ , $\varphi_{95} = 4{,}42$ .
Средний размер: $M_z = (2{,}18 + 2{,}91 + 3{,}69)/3 = 2{,}93$ φ, то есть $2^{-2{,}93} = 0{,}131$ мм — мелкий песок.
Сортировка: $\sigma_I = (3{,}69 - 2{,}18)/4 + (4{,}42 - 1{,}63)/6{,}6 = 0{,}80$ — между 0,71 и 1,00: умеренная.
Асимметрия: первое слагаемое — $(2{,}18 + 3{,}69 - 2\cdot 2{,}91)/(2\cdot 1{,}51) = 0{,}017$ , второе — $(1{,}63 + 4{,}42 - 2\cdot 2{,}91)/(2\cdot 2{,}79) = 0{,}041$ ; $Sk_I = 0{,}06$ — почти симметричное распределение.
Эксцесс: $K_G = (4{,}42 - 1{,}63)/(2{,}44\cdot(3{,}43 - 2{,}42)) = 1{,}13$ — островершинное.
Проба Б по тем же формулам: $M_z = 1{,}60$ φ (0,330 мм — средний песок), $\sigma_I = 0{,}42$ — хорошая сортировка, $Sk_I = -0{,}14$ — асимметрия в сторону крупных зёрен, $K_G = 1{,}09$ — нормальный эксцесс.

Жауап: Проба А — мелкий песок (

M_z

= 2,93 φ), умеренно отсортированный (

\sigma_I

= 0,80), с почти симметричным распределением (

Sk_I

= 0,06); проба Б — средний песок, хорошо отсортированный (

\sigma_I

= 0,42), с избытком крупных зёрен (

Sk_I

= −0,14).

Бұл нені білдіреді. При подборе фильтров проба А по коэффициенту неоднородности $C = D_{40}/D_{90} \approx 2{,}5$ отнесена к хорошо отсортированным, а по геологической шкале она лишь умеренно отсортирована. Противоречия нет: шкалы построены для разных задач, и сравнивать нужно числа, а не слова (дополнительный раздел). Отрицательная асимметрия пробы Б — след хвоста крупных зёрен при недостатке мелких: так бывает, когда волны или течение постоянно вымывают мелкую фракцию. Но по одной асимметрии обстановку не определяют — нужны текстуры и последовательность слоёв (Первичные осадочные текстуры). Данные примера условные.

ЕсептеуНакопленные кривые проб А и Б из примера на вероятностной шкале; точки — сита. Чем круче кривая, тем лучше сортировка; прямая означала бы точно логнормальное распределение. У пробы А отмечены процентили 16, 50 и 84 %.

Форма зёрен: сферичность и окатанность

Форму зерна описывают на трёх уровнях, и каждый отвечает на свой вопрос. Общая форма — соотношение длинной ( $L$ ), промежуточной ( $I$ ) и короткой ( $S$ ) осей — зависит прежде всего от минерала и от того, как раскололась исходная порода. Окатанность — насколько сглажены углы и рёбра — накапливается при переносе. Облик поверхности — блестящая, матовая, со следами ударов или наросшими кристаллами — отражает последние этапы переноса и изменения после захоронения.

Классы формы по Зинггу

Класс: Изометричные (equant)
$I/L$: больше 2/3
$S/I$: больше 2/3
Пример: большинство зёрен кварца

Класс: Дисковидные (oblate)
$I/L$: больше 2/3
$S/I$: меньше 2/3
Пример: чешуйки слюды, плоские гальки

Класс: Стержневидные (prolate)
$I/L$: меньше 2/3
$S/I$: больше 2/3
Пример: удлинённые обломки

Класс: Пластинчато-удлинённые (bladed)
$I/L$: меньше 2/3
$S/I$: меньше 2/3
Пример: плоские удлинённые обломки сланцев

Класс	$I/L$	$S/I$	Пример
Изометричные (equant)	больше 2/3	больше 2/3	большинство зёрен кварца
Дисковидные (oblate)	больше 2/3	меньше 2/3	чешуйки слюды, плоские гальки
Стержневидные (prolate)	меньше 2/3	больше 2/3	удлинённые обломки
Пластинчато-удлинённые (bladed)	меньше 2/3	меньше 2/3	плоские удлинённые обломки сланцев

Оси галек меряют штангенциркулем, оси песчинок — под микроскопом.

Классы Зингга делят зёрна на группы, а сферичность (sphericity) выражает близость зерна к шару одним числом от 0 до 1. Распространены две меры, обе через оси зерна, приближённого эллипсоидом:

Сферичность по Крумбейну

\psi_K = \sqrt[3]{\frac{I\,S}{L^2}}

мұндағы:

$\psi_K$ сферичность: отношение диаметра шара того же объёма к диаметру описанного шара, —
$L,\ I,\ S$ длинная, промежуточная и короткая оси зерна, мм

Бірліктер: любые одинаковые единицы длины

Мына жағдайда орындалады

зерно приближено эллипсоидом с осями $L \ge I \ge S$ ; у шара $\psi_K = 1$ .

Объём эллипсоида пропорционален $LIS$ , объём описанного шара — $L^3$ ; отношение объёмов $IS/L^2$ , а кубический корень переводит его в отношение диаметров.

Сферичность максимальной проекции (по Сниду и Фолку)

\psi_P = \sqrt[3]{\frac{S^2}{L\,I}}

мұндағы:

$\psi_P$ отношение площади проекции шара того же объёма к наибольшей площади проекции зерна, —
$L,\ I,\ S$ оси зерна, мм

Бірліктер: любые одинаковые единицы длины

Мына жағдайда орындалады

зерно приближено эллипсоидом с осями $L \ge I \ge S$ ; у шара $\psi_P = 1$ .

Оседающее зерно разворачивается к потоку своей наибольшей проекцией $L \times I$ , поэтому $\psi_P$ лучше описывает его гидравлическое поведение: чем меньше $\psi_P$ , тем медленнее оседает зерно того же объёма.

Есептеу мысалыКласс формы и сферичность трёх зёрен

Бастапқы деректер (шартты)

Зерно 1 (кварц): $L$ = 0,60 мм, $I$ = 0,48 мм, $S$ = 0,40 мм
Зерно 2 (плоский обломок алевролита): $L$ = 0,80 мм, $I$ = 0,60 мм, $S$ = 0,20 мм
Зерно 3 (удлинённый обломок): $L$ = 1,00 мм, $I$ = 0,45 мм, $S$ = 0,36 мм

Шешім

Зерно 1: $I/L = 0{,}80$ , $S/I = 0{,}83$ — оба больше 2/3, изометричное. $\psi_K = \sqrt[3]{0{,}48\cdot 0{,}40/0{,}60^2} = 0{,}81$ ; $\psi_P = \sqrt[3]{0{,}40^2/(0{,}60\cdot 0{,}48)} = 0{,}82$ .
Зерно 2: $I/L = 0{,}75$ , $S/I = 0{,}33$ — дисковидное. $\psi_K = 0{,}57$ ; $\psi_P = 0{,}44$ .
Зерно 3: $I/L = 0{,}45$ , $S/I = 0{,}80$ — стержневидное. $\psi_K = 0{,}55$ ; $\psi_P = 0{,}66$ .

Жауап: Изометричное зерно 1 — самое сферичное по обеим мерам (0,81 и 0,82). Диск и стержень по Крумбейну почти равны (0,57 и 0,55), а по максимальной проекции диск заметно дальше от шара (0,44 против 0,66).

Бұл нені білдіреді. Диск при оседании разворачивается плашмя и тормозит сильнее стержня того же объёма. Поэтому плоские зёрна, например чешуйки слюды, уносятся дальше и откладываются вместе с более мелким кварцем — в спокойной воде, тонкими слюдистыми слойками. Ложась плашмя, они делают породу анизотропной: проницаемость вдоль напластования выше, чем поперёк. Окатанность по осям не определить: каждое из трёх зёрен может быть и угловатым, и окатанным. Данные примера условные.

ЕсептеуКлассы формы по Зинггу (границы на 2/3) и линии равной сферичности максимальной проекции

\psi_P

; точки — зёрна из примера.

Окатанность (roundness) по Уэйделлу — отношение среднего радиуса кривизны углов зерна к радиусу наибольшего вписанного в его контур круга: у идеально окатанного зерна она равна 1, у остроугольного — около 0,1–0,2. На практике её не измеряют, а оценивают, сравнивая зёрна с эталонными рисунками.

Классы окатанности

Класс: Очень угловатые (very angular)
Окатанность: 0,12–0,17
Признаки: острые углы и рёбра, свежие сколы

Класс: Угловатые (angular)
Окатанность: 0,17–0,25
Признаки: углы острые, рёбра слегка притуплены

Класс: Полуугловатые (subangular)
Окатанность: 0,25–0,35
Признаки: углы притуплены, грани хорошо видны

Класс: Полуокатанные (subrounded)
Окатанность: 0,35–0,49
Признаки: углы скруглены, грани ещё различимы

Класс: Окатанные (rounded)
Окатанность: 0,49–0,70
Признаки: грани почти исчезли, контур плавный

Класс: Хорошо окатанные (well rounded)
Окатанность: 0,70–1,0
Признаки: ни углов, ни граней

Класс	Окатанность	Признаки
Очень угловатые (very angular)	0,12–0,17	острые углы и рёбра, свежие сколы
Угловатые (angular)	0,17–0,25	углы острые, рёбра слегка притуплены
Полуугловатые (subangular)	0,25–0,35	углы притуплены, грани хорошо видны
Полуокатанные (subrounded)	0,35–0,49	углы скруглены, грани ещё различимы
Окатанные (rounded)	0,49–0,70	грани почти исчезли, контур плавный
Хорошо окатанные (well rounded)	0,70–1,0	ни углов, ни граней

Границы — по шкале Пауэрса: каждая следующая примерно в $\sqrt2$ раз больше предыдущей. В отечественных описаниях пользуются похожими классами — от острогранных до хорошо окатанных зёрен.

От чего зависят форма и окатанность:

минерал: слюды раскалываются на тонкие пластинки, полевые шпаты — по спайности на бруски, кварц спайности не имеет и даёт изометричные зёрна; мягкие обломки глинистых пород окатываются и истираются быстро, кварц — медленно;
размер: гальки заметно окатываются уже за первые километры — десятки километров переноса, а песчинки в воде — очень медленно: удары смягчает слой воды, и энергии удара мало;
среда переноса: ветер окатывает и матирует песчинки гораздо быстрее воды — в воздухе удары сильнее;
история: песок, прошедший несколько циклов размыва и отложения, наследует окатанность прежних циклов, поэтому хорошо окатанный кварц говорит о долгой истории или эоловой обработке, а угловатые зёрна — о близком источнике и быстром захоронении. Матовая поверхность бывает и следом растворения после захоронения, а наросшие грани — следом кварцевого цемента.

Укладка, каркас и ориентировка зёрен

Как плотно лежат зёрна, решает пористость. Идеальные укладки одинаковых шаров — кубическая (47,6 %) и самая плотная (26,0 %) — показывают, что пористость зависит от расположения зёрен, а не от их размера (расчёт укладок). Случайно насыпанные одинаковые шары ложатся между этими пределами: рыхло — около 40 %, после встряхивания — около 36 %. Свежеотложенный хорошо отсортированный песок обычно имеет 40–45 %: зёрна не шары, между ними трение, и они не успевают улечься плотно.

Природный песок — смесь размеров, и здесь главное — где оказываются мелкие зёрна. Пока их мало, они лежат в порах между крупными, а крупные зёрна по-прежнему касаются друг друга и несут нагрузку: порода с зерновым каркасом (grain-supported). Когда поры каркаса заполнены, лишнему мелкому материалу некуда деться, кроме как раздвинуть крупные зёрна: они начинают «плавать» в заполнителе, и нагрузку несёт уже он (matrix-supported) — как в отложениях селей и в вакках. В отечественной петрографии похожее различие проводят для цемента: при базальном цементе зёрна не касаются друг друга, при поровом цемент заполняет промежутки между соприкасающимися зёрнами.

Простейшая модель такой смеси — две фракции, настолько разные по размеру, что мелкие зёрна свободно проходят в поры каркаса из крупных.

Пористость идеальной смеси крупных и мелких зёрен

\phi(x) = \begin{cases} 1 - \dfrac{1 - \phi_c}{1 - x}, & x \le x^* \\[8pt] 1 - \dfrac{1}{x/(1 - \phi_f) + 1 - x}, & x \ge x^* \end{cases}

мұндағы:

$\phi$ пористость смеси, доли единицы
$x$ доля мелких зёрен в объёме твёрдой фазы, доли единицы
$\phi_c$ пористость укладки одних крупных зёрен, доли единицы
$\phi_f$ пористость укладки одних мелких зёрен, доли единицы
$x^*$ доля мелких зёрен, при которой они ровно заполняют поры каркаса (формула ниже), доли единицы

Бірліктер: доли единицы

Мына жағдайда орындалады

мелкие зёрна настолько мельче крупных, что проходят в поры каркаса через сужения между зёрнами: для плотной укладки — мельче примерно 0,15 диаметра крупных (размер сужений между зёрнами);
мелкие зёрна укладываются в порах так же плотно, как сами по себе, а крупные — так же, как без мелких;
внутри каждой фракции зёрна одного размера и формы.

Левая ветвь: мелкие зёрна заполняют поры каркаса, не раздвигая его, и пористость падает. Правая ветвь: крупные зёрна «плавают» в мелких и лишь вытесняют часть их пор. В реальных песках размеры фракций различаются не так резко, мелкие зёрна раздвигают каркас раньше, и пористость падает меньше: модель даёт нижнюю границу пористости смеси.

Состав и пористость самой плотной смеси

x^* = \frac{\phi_c\,(1 - \phi_f)}{1 - \phi_c\,\phi_f},\qquad \phi_{min} = \phi_c\,\phi_f

мұндағы:

$x^*$ доля мелких зёрен в объёме твёрдой фазы в самой плотной смеси, доли единицы
$\phi_{min}$ наименьшая пористость смеси, доли единицы

Бірліктер: доли единицы

Мына жағдайда орындалады

те же, что для пористости смеси.

В самой плотной смеси поры остаются только внутри мелкой фракции, заполнившей поры каркаса, поэтому пористость равна произведению пористостей фракций.

Есептеу мысалыСколько алеврита нужно, чтобы «задушить» песок

Бастапқы деректер (шартты)

Каркас из крупного песка: пористость укладки $\phi_c$ = 0,38
Мелкая фракция — алеврит: пористость укладки $\phi_f$ = 0,44; зёрна много мельче сужений между зёрнами каркаса

Шешім

Доля алеврита, ровно заполняющая поры каркаса: $x^* = \dfrac{0{,}38\cdot(1 - 0{,}44)}{1 - 0{,}38\cdot 0{,}44} = 0{,}256$ , то есть 25,6 % объёма зёрен.
Наименьшая пористость: $\phi_{min} = 0{,}38\cdot 0{,}44 = 0{,}167$ , то есть 16,7 %.
При 10 % алеврита каркас ещё цел: $\phi = 1 - (1 - 0{,}38)/(1 - 0{,}10) = 0{,}311$ , то есть 31,1 %.
При 50 % алеврита крупные зёрна уже «плавают»: $\phi = 1 - 1/(0{,}50/0{,}56 + 0{,}50) = 0{,}282$ , то есть 28,2 %.

Жауап: Пористость падает с 38 % у чистого песка до 16,7 % при 25,6 % алеврита и снова растёт до 28,2 % при 50 %.

Бұл нені білдіреді. Первые 10 % алеврита отнимают у песка почти 7 % пористости, а проницаемость теряется гораздо сильнее: как только поры каркаса заполнены мелочью, поток идёт уже через поры алеврита, а они во столько же раз уже, во сколько алеврит мельче песка. Поэтому даже умеренная примесь глинисто-алевритового матрикса превращает хороший песок в плохой коллектор, а породы, где крупные зёрна «плавают» в заполнителе, — вакки, отложения селей — коллекторами обычно не бывают. Реальные смеси с менее контрастными размерами теряют пористость меньше, чем в модели. Данные примера условные.

ЕсептеуПористость идеальной смеси крупного песка и алеврита из примера в зависимости от доли алеврита: слева от минимума алеврит заполняет поры каркаса, справа крупные зёрна «плавают» в алеврите.

Толығырақ:Откуда формула смеси

Возьмём смесь с единичным объёмом твёрдых зёрен: $1 - x$ крупных и $x$ мелких. Пока мелкие помещаются в поры каркаса, объём породы задаёт каркас: крупные зёрна объёмом $1 - x$ занимают вместе со своими порами объём $(1 - x)/(1 - \phi_c)$ . Пористость — доля объёма, не занятая зёрнами: $\phi = 1 - 1/V = 1 - (1 - \phi_c)/(1 - x)$ .

Мелкие зёрна вместе со своими порами занимают $x/(1 - \phi_f)$ . Поры каркаса заполнятся, когда этот объём сравняется с объёмом пор каркаса $(1 - x)\,\phi_c/(1 - \phi_c)$ ; отсюда $x^*$ . Дальше объём породы задают мелкие зёрна, а крупные лишь добавляют свой объём без пор: $V = x/(1 - \phi_f) + (1 - x)$ . При $x = x^*$ обе ветви дают $\phi_c\,\phi_f$ — кривая непрерывна.

Ориентировка. Удлинённые и плоские зёрна ложатся плашмя; длинные оси песчинок чаще вытянуты вдоль течения, а гальки, которые катились по дну, — нередко поперёк него. Плоские гальки в реке наклоняются против течения, налегая друг на друга, как черепица, — это черепитчатая укладка (imbrication), один из признаков направления палеотечения (палеотечения). Ориентировка делает проницаемость анизотропной: вдоль напластования и вдоль течения она выше, чем поперёк.

Контакты зёрен. Сразу после отложения зёрна касаются в точках. При погружении нагрузка вдавливает их друг в друга: точечные контакты становятся линейными, затем вогнуто-выпуклыми, а где зёрна растворяются под давлением — зубчатыми. Тип контактов в шлифе показывает, насколько порода уплотнена, — но это уже история после отложения (Диагенез: уплотнение, цементация и растворение).

Структура и начальные пористость и проницаемость

Пока осадок не уплотнён и не сцементирован, его ёмкость и проводимость задаёт структура. Опыты с искусственно уложенными влажными песками показали: пористость почти не зависит от размера зёрен, но падает с ухудшением сортировки — примерно от 42 % у очень хорошо до 28 % у очень плохо отсортированных песков. Проницаемость зависит от обоих свойств: она растёт как квадрат размера зерна (модель Козени — Кармана) и падает, когда мелкие зёрна сужают поровые каналы.

Проницаемость рыхлого песка по размеру и сортировке (Крумбейн — Монк)

k = 760\,d_g^{\,2}\,e^{-1{,}31\,\sigma}

мұндағы:

$k$ проницаемость, Д
$d_g$ средний геометрический диаметр зёрен; по статистикам Фолка — Уорда $d_g \approx 2^{-M_z}$ , мм
$\sigma$ сортировка — стандартное отклонение размеров; на практике берут $\sigma_I$ , единицы φ

Бірліктер: эмпирическая: $k$ — в дарси, $d_g$ — в миллиметрах, $\sigma$ — в единицах φ

Мына жағдайда орындалады

получена на рыхлых несцементированных песках с примерно логнормальным распределением размеров, уложенных с пористостью около 40 %; чем дальше пористость от этой величины, тем грубее оценка;
для уплотнённых и сцементированных пород формула сильно завышает проницаемость;
при $\sigma = 0$ она близка к модели Козени — Кармана для одинаковых шаров при пористости 40 % (та даёт примерно на 30 % больше).

Сомножитель $d_g^2$ отражает ширину поровых каналов, $e^{-1{,}31\sigma}$ — их сужение мелкими зёрнами: ухудшение сортировки на одну единицу φ уменьшает проницаемость в $e^{1{,}31} \approx 3{,}7$ раза.

Басқа бірліктер жүйелерінде (1)

СИ

k\,[\text{м}^2] = 7{,}5\cdot10^{-4}\,d_g^{\,2}\,[\text{м}^2]\;e^{-1{,}31\,\sigma}

$k$ и $d_g^2$ — в квадратных метрах, $\sigma$ — в единицах φ.

$760$ Д $= 7{,}5\cdot10^{-10}$ м² приходится на каждый квадратный миллиметр $d_g^2$ , то есть на $10^{-6}$ м²: $7{,}5\cdot10^{-10}/10^{-6} = 7{,}5\cdot10^{-4}$ .

Есептеу мысалыНачальная проницаемость двух песков

Бастапқы деректер (шартты)

Проба А (пример выше): $M_z$ = 2,93 φ, $\sigma_I$ = 0,80
Проба Б: $M_z$ = 1,60 φ, $\sigma_I$ = 0,42

Шешім

Средние диаметры: $d_g = 2^{-2{,}93} = 0{,}131$ мм и $2^{-1{,}60} = 0{,}330$ мм.
Проба А: $k = 760\cdot {0{,}131}^2\cdot e^{-1{,}31\cdot 0{,}80} = 4{,}6$ Д.
Проба Б: $k = 760\cdot {0{,}330}^2\cdot e^{-1{,}31\cdot 0{,}42} = 48$ Д.
Песок Б проницаемее в 10 раз: за счёт размера — в $(0{,}330/0{,}131)^2 = 6{,}3$ раза, за счёт сортировки — в $e^{1{,}31\cdot(0{,}80 - 0{,}42)} = 1{,}6$ раза.

Жауап: Рыхлый песок А пропускал бы около 4,6 Д, песок Б — около 48 Д, примерно в 10 раз больше; размер зёрен даёт бóльшую часть разницы.

Бұл нені білдіреді. Это проницаемость рыхлого песка сразу после отложения, при пористости около 40 %. В пласте эти пески уплотнены и частично сцементированы, и их проницаемость обычно на один-три порядка ниже; но соотношение «крупнее и лучше отсортирован — проницаемее» во многом сохраняется. Как уплотнение, цемент и глинистые минералы меняют исходную картину и как по ним прогнозируют качество коллектора, рассказывают темы о качестве коллектора и о диагенезе. Данные примера условные.

Что меняется, если…

…зёрна вдвое мельче при той же сортировке — пористость почти та же, проницаемость вчетверо ниже;
…сортировка ухудшилась с 0,4 до 1,0 единицы φ при том же среднем размере — проницаемость падает примерно в $e^{1{,}31\cdot 0{,}6} \approx 2{,}2$ раза, пористость — на несколько процентов;
…в песок попал алеврит, заполняющий поры, — пористость падает, проницаемость — гораздо сильнее (пример со смесью);
…зёрна плоские и лежат плашмя — проницаемость поперёк напластования меньше, чем вдоль.

В масштабе керна структура меняется от слойка к слойку: соседние слойки толщиной в миллиметры различаются размером и сортировкой зёрен, а значит, проницаемостью и капиллярным давлением. Поток вдоль слойков идёт по лучшим из них, поперёк — упирается в худшие; при двухфазном течении на границах слойков задерживается одна из фаз (Капиллярное давление и переходная зона). Как осреднять проницаемость таких слоёв, рассказано в уроке о проницаемости и в теме о неоднородности, а как слойки складываются в косые серии — в уроке о текстурах.

Терминдер мен белгілер

Структура осадка (texture): размер, сортировка, форма и окатанность зёрен и их укладка; в отечественной петрографии — структура, а не текстура.
Шкала Уддена — Вентворта: шкала размеров обломков с удваивающимися границами: песок 1/16–2 мм, алеврит 1/256–1/16 мм, глина мельче 1/256 мм.
Единицы φ: $\varphi = -\log_2 d$ , $d$ в миллиметрах; один класс Вентворта — одна единица φ.
Процентиль $\varphi_p$: размер в единицах φ, крупнее которого $p$ % массы пробы.
Сортировка $\sigma_I$: стандартное отклонение размеров в единицах φ; меньше 0,5 — хорошая, больше 1 — плохая.
Асимметрия $Sk_I$: избыток мелких (плюс) или крупных (минус) зёрен по сравнению с симметричным распределением.
Сферичность: близость формы зерна к шару; по Крумбейну $\sqrt[3]{IS/L^2}$ , по максимальной проекции $\sqrt[3]{S^2/(LI)}$ .
Окатанность: сглаженность углов и рёбер зерна; от очень угловатых до хорошо окатанных.
Структурная зрелость: насколько осадок очищен от глины, отсортирован и окатан.
Зерновой каркас и заполнитель: крупные зёрна касаются друг друга и несут нагрузку — или «плавают» в тонком материале, который несёт её сам.

Жиі қателіктер

Қате

«Хорошо отсортированный — значит, крупнозернистый».

Шын мәнінде

Сортировка — разброс размеров, а не их величина. Пыль пустынь и тонкий ил бывают очень хорошо отсортированы, а крупная галька с песком — очень плохо.

Қате

«Сортировку можно посчитать в миллиметрах по той же формуле».

Шын мәнінде

Формулы Фолка — Уорда рассчитаны на единицы φ: в миллиметрах разброс зависит от самого размера, и пески разной крупности становятся несравнимы. Сначала переводят процентили в φ.

Қате

«Лазерный и ситовый анализ одной пробы должны совпасть».

Шын мәнінде

Они измеряют разные диаметры — эквивалентный шар, рассеивающий свет, и ячейку, через которую проходит зерно. Плоские частицы лазер видит крупнее, а долю глины даёт меньше, чем отстаивание. Методы сравнивают на одних пробах и не смешивают в одной выборке.

Қате

«Окатанное зерно — круглое».

Шын мәнінде

Окатанность — сглаженность углов, сферичность — близость к шару. Окатанная плоская галька остаётся плоской, а угловатый обломок может быть почти изометричным.

Қате

«Раз пористость почти не зависит от размера зёрен, не зависит и проницаемость».

Шын мәнінде

Проницаемость растёт примерно как квадрат размера зерна: при той же пористости мелкозернистый песок пропускает в разы меньше.

Толық: тереңдетілген

Сортировка инженера и геолога

При подборе фильтров сортировку оценивают коэффициентом неоднородности $C = D_{40}/D_{90}$ , в старых отчётах встречается коэффициент Траска $S_o = \sqrt{D_{25}/D_{75}}$ , геологи пользуются $\sigma_I$ . Для логнормального песка все три — функции одного и того же стандартного отклонения в единицах φ, потому что расстояние между любыми двумя процентилями пропорционально $\sigma$ .

Коэффициенты неоднородности и Траска для логнормального песка

C = \frac{D_{40}}{D_{90}} = 2^{\,(z_{0{,}9} - z_{0{,}4})\,\sigma} \approx 2^{1{,}535\,\sigma},\qquad S_o = \sqrt{\frac{D_{25}}{D_{75}}} \approx 2^{0{,}674\,\sigma}

мұндағы:

$C$ коэффициент неоднородности; $D_p$ — размер, крупнее которого $p$ % массы, —
$S_o$ коэффициент сортировки Траска, —
$z_{0{,}9},\ z_{0{,}4}$ квантили стандартного нормального распределения: 1,282 и −0,253, —
$\sigma$ стандартное отклонение размеров, единицы φ

Бірліктер: безразмерные

Мына жағдайда орындалады

распределение размеров логнормальное (нормальное в единицах φ); для реальных проб формулы — приближение.

Порог хорошей сортировки при подборе фильтров $C = 3$ соответствует $\sigma \approx 1{,}03$ , порог плохой $C = 5$ — $\sigma \approx 1{,}51$ . «Хорошо отсортированный» песок инженера — это «умеренно отсортированный или лучше» у геолога.

Есептеу мысалыПроба А на трёх шкалах

Бастапқы деректер (шартты)

Сортировка пробы А: $\sigma_I$ = 0,80 (пример Фолка — Уорда)
Коэффициент неоднородности по ситам: около 2,5 (урок о борьбе с пескопроявлением)

Шешім

Для логнормального песка с той же сортировкой: $C = 2^{1{,}535\cdot 0{,}80} = 2{,}34$ — близко к измеренным 2,5.
Пороги шкалы фильтров в единицах φ: $C = 3$ ↔ $\sigma = \log_2 3/1{,}535 = 1{,}03$ ; $C = 5$ ↔ $\sigma = 1{,}51$ .
Коэффициент Траска: $S_o = 2^{0{,}674\cdot 0{,}80} = 1{,}45$ .

Жауап: Одна и та же проба:

\sigma_I

= 0,80 (умеренная сортировка у геолога),

C

≈ 2,5 (хорошая сортировка при подборе фильтров),

S_o

≈ 1,45.

Бұл нені білдіреді. Расчётное $C$ немного меньше измеренного: у пробы А хвост мелких частиц тяжелее, чем у логнормальной кривой. Пересчёт позволяет сравнить числа из отчётов разных лет и служб; словесные классы разных шкал сравнивать нельзя. Данные примера условные.

Почему в шлифе зёрна кажутся мельче

Пусть шар радиуса $R$ пересечён плоскостью шлифа на расстоянии $h$ от центра, и $h$ с равной вероятностью принимает любые значения от 0 до $R$ . Радиус сечения $\rho = \sqrt{R^2 - h^2}$ , а его среднее — интеграл $\tfrac{1}{R}\int_0^R \sqrt{R^2 - h^2}\,\dd h = \tfrac{\pi}{4}R$ (площадь четверти круга, делённая на $R$ ).

Есептеу мысалыСредний видимый размер зерна

Бастапқы деректер (шартты)

Зёрна: шары диаметром 0,25 мм, случайный срез

Шешім

Средний диаметр сечения: $\dfrac{\pi}{4}\cdot 0{,}25 = 0{,}196$ мм — на 21 % меньше истинного.

Жауап: В шлифе такие зёрна в среднем выглядят на 21 % мельче, а их распределение — шире: срезы у края зерна дают совсем маленькие сечения.

Бұл нені білдіреді. Поэтому средний размер по шлифу занижен, а сортировка выглядит хуже истинной. Для несферических зёрен поправка другая; на практике размеры по шлифам переводят в ситовые по эмпирическим зависимостям, полученным на одних и тех же породах. Данные примера условные.

Басқа тақырыптармен байланыс

Осадочные породы и их классификация — названия обломочных пород по размеру зёрен; каркас, матрикс и цемент.
Первичные осадочные текстуры — слоистость и косая слоистость — текстуры, которые слагают слойки разной структуры.
Методы борьбы с пескопроявлением — ситовый анализ песка пласта, $D_{10}$ , $D_{50}$ , коэффициент неоднородности и подбор гравия.
Пористость — идеальные укладки шаров и что ещё определяет пористость.
Проницаемость горных пород — зависимость проницаемости от размера зёрен и осреднение по слоям.
Распределения и достаточность выборки — логнормальное распределение и вероятностный график.
Качество коллектора: геологические факторы пористости и проницаемости — как уплотнение, цемент и глина меняют начальные пористость и проницаемость.
Коллектор и покрышка — что делает породу коллектором; две «зрелости» песчаника.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Промежуточная ось зерна — 0,18 мм. Сколько это в единицах φ и к какому классу Вентворта относится зерно?
1. А.Около 2,5 φ, мелкий песок
2. Б.Около −2,5 φ, галька
3. В.Около 0,18 φ, крупный песок
4. Г.Около 1,8 φ, средний песок
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: А. Около 2,5 φ, мелкий песок
$\varphi = -\log_2 0{,}18 = -\ln 0{,}18/\ln 2 \approx 2{,}47$ — между 2 и 3 φ, то есть 0,125–0,25 мм: мелкий песок. Отрицательные φ — у гравия и более крупных обломков.
2
По накопленной кривой: $\varphi_5$ = 1,2; $\varphi_{16}$ = 1,5; $\varphi_{84}$ = 2,3; $\varphi_{95}$ = 2,6. Какова сортировка песка?
1. А.Плохая
2. Б.Очень хорошая
3. В.Хорошая
4. Г.Умеренная
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. Хорошая
$\sigma_I = (2{,}3 - 1{,}5)/4 + (2{,}6 - 1{,}2)/6{,}6 = 0{,}20 + 0{,}21 \approx 0{,}41$ — между 0,35 и 0,50: песок хорошо отсортирован.
3
Два рыхлых песка: первый — средний размер 0,25 мм, $\sigma_I$ = 0,4; второй — 0,5 мм, $\sigma_I$ = 1,2. Какой из них проницаемее по формуле Крумбейна — Монка и во сколько раз?
Жауабын көрсету
Первый: $760\cdot 0{,}25^2\cdot e^{-1{,}31\cdot 0{,}4} \approx 28$ Д. Второй: $760\cdot 0{,}5^2\cdot e^{-1{,}31\cdot 1{,}2} \approx 39$ Д — примерно в 1,4 раза больше. Вдвое более крупные зёрна дают выигрыш в 4 раза, а худшая сортировка отнимает примерно в 2,9 раза. Пористость же выше у первого, хорошо отсортированного песка: от размера зёрен она почти не зависит, а от сортировки зависит.
4
Плоская галька из сланца имеет сглаженные углы и рёбра. Что можно сказать о её окатанности и сферичности?
1. А.Окатанность низкая, сферичность высокая
2. Б.Окатанность и сферичность высокие
3. В.По форме нельзя судить ни о том, ни о другом
4. Г.Окатанность высокая, сферичность низкая
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Г. Окатанность высокая, сферичность низкая
Сглаженные углы — признак окатанности, а плоская форма (короткая ось много меньше двух других) — низкой сферичности. Это независимые свойства: сланец раскалывается на плитки, и перенос скругляет их края, но не делает их шарами.
5
В песок с пористостью укладки 40 % добавили 15 % (по объёму зёрен) очень мелкого алеврита с пористостью укладки 45 %. Какой станет пористость в идеальной модели смеси?
Жауабын көрсету
Сначала проверим, помещается ли алеврит в порах каркаса: $x^* = 0{,}40\cdot 0{,}55/(1 - 0{,}40\cdot 0{,}45) \approx 0{,}27$ — больше 0,15, значит, каркас не раздвигается и действует левая ветвь: $\phi = 1 - (1 - 0{,}40)/(1 - 0{,}15) = 1 - 0{,}60/0{,}85 \approx 0{,}29$ . Пористость упала с 40 до 29 %, а проницаемость — гораздо сильнее: поры каркаса уже наполовину заполнены алевритом.
6
Какой метод даст для одной и той же пробы наибольшую долю частиц мельче 4 мкм?
1. А.Ситовый
2. Б.Отстаивание (пипетка)
3. В.Лазерная дифракция
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Отстаивание (пипетка)
Сита до таких размеров не доходят вовсе. Лазер считает плоские глинистые частицы эквивалентными шарами по их крупной проекции и «видит» их крупнее. При отстаивании пластинки оседают медленнее шаров того же объёма и потому записываются в более мелкие фракции — доля «глины» получается наибольшей.

Жаңартылған: 12 октября 2026 г.