Модель скважины в ячейке сетки

Қысқаша негізгісі

Давление ячейки со скважиной относится к объёму в сотни тысяч кубометров и намного выше забойного: в примере урока при дебите 95 м³/сут разница — 3,4 МПа.
Разностная схема «видит» скважину как точечный сток в центре ячейки. Давление ячейки совпадает с давлением установившегося радиального притока на эквивалентном радиусе $r_0$ : около $0{,}2\,\Delta x$ для квадратной ячейки (точно $0{,}1985\,\Delta x$ ).
Индекс скважины — закон Дарси для радиального притока от стенки скважины до $r_0$ с учётом скина: $\mathrm{WI} = 2\pi kh/(\ln(r_0/r_w) + S)$ .
Давление ячейки — не среднее давление по её площади (оно отвечает радиусу около $0{,}35\,\Delta x$ ) и не среднее давление области дренирования скважины. Поэтому индекс скважины нельзя просто взять из коэффициента продуктивности по исследованиям.
В анизотропном пласте в индекс входит $\sqrt{k_xk_y}$ , а $r_0$ зависит и от размеров ячейки, и от отношения проницаемостей.
Скважине задают либо дебит, либо забойное давление, и всегда — ограничения на другое. Дебит между пластами распределяется по их индексам и давлениям ячеек.

Негізгі қатынастар

q_s = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}\,(p_0 - p_{wf})}{\mu B},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi kh}{\ln(r_0/r_w) + S}

модель скважины: $q_s$ — м³/сут в стандартных условиях, WI — мД·м, $p$ — МПа, $\mu$ — мПа·с

r_0 = 0{,}14\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\ \approx\ 0{,}2\,\Delta x

эквивалентный радиус изотропной ячейки (квадратной — справа)

r_0 = 0{,}28\,\frac{\left[(k_y/k_x)^{1/2}\Delta x^2 + (k_x/k_y)^{1/2}\Delta y^2\right]^{1/2}}{(k_y/k_x)^{1/4} + (k_x/k_y)^{1/4}}

анизотропный пласт; в индекс входит $\sqrt{k_xk_y}$

p_{wf} = \frac{\sum_l J_l\,p_l - q}{\sum_l J_l}

общее забойное давление скважины, вскрывшей несколько слоёв, при заданном дебите

Жиі қателіктер

Сравнивать давление ячейки со скважиной с замеренным забойным давлением.
Подставлять в модель коэффициент продуктивности по исследованиям как индекс скважины: они отнесены к разным давлениям.
Считать индекс с арифметическим средним проницаемостей или с проницаемостью вдоль одной оси в анизотропном пласте.
Применять формулу Писмена к скважинам в соседних ячейках, у границы модели или в очень мелких ячейках без поправок.
Подгонять индекс скважины при адаптации, не проверив проницаемость, толщину, скин и давление в пласте.

Сабақтан кейін сіз

объяснить, почему давление ячейки со скважиной не равно ни забойному давлению, ни среднему давлению по площади ячейки;
получить эквивалентный радиус квадратной ячейки простым рассуждением и знать точное значение и формулы для прямоугольной ячейки и анизотропного пласта;
рассчитать индекс скважины со скином и по нему забойное давление или дебит в модели;
проверить модель скважины по решению для установившегося радиального притока;
распределить дебит скважины между пластами и выбрать режим работы скважины в модели — по дебиту или по забойному давлению с ограничениями.

Почему давление ячейки не равно забойному

Ячейка гидродинамической модели — обычно десятки или сотни метров в плане, радиус скважины — около 0,1 м. Внутри ячейки давление считается одинаковым, и симулятор знает только одно число — давление ячейки. А вблизи скважины давление меняется по логарифму расстояния (Установившийся радиальный приток): на каждое десятикратное приближение к стволу приходится одинаковый перепад. Значит, большая часть депрессии расходуется внутри ячейки со скважиной — там, где модель ничего не различает.

Сетка не может описать эту воронку: для этого понадобились бы ячейки размером в сантиметры. Вместо этого скважину описывают отдельной формулой — моделью скважины. Она связывает три величины: дебит, давление ячейки и забойное давление. Если задан дебит, модель скважины даёт забойное давление; если задано забойное давление — дебит.

Аналогия: термометр в комнате и батарея

Давление ячейки похоже на показание термометра посреди комнаты, а забойное давление — на температуру поверхности батареи. Термометр не показывает температуру батареи, но если известно, как температура меняется от батареи к середине комнаты, одно можно пересчитать в другое. Модель скважины и есть такой закон пересчёта. Аналогия неполна: давление ячейки — не замер в какой-то точке, а число, которое выдаёт разностная схема, и найти, какой точке пласта оно отвечает, — главная задача этого урока.

Индекс скважины

Пусть давление ячейки $p_0$ равно давлению установившегося радиального притока на некотором расстоянии $r_0$ от оси скважины. Тогда между стенкой скважины и этим расстоянием действует формула Дюпюи со скином (Скин-фактор), и связь дебита с давлениями получается сразу:

Модель скважины: дебит, давление ячейки и забойное давление

q_s = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}\,(p_0 - p_{wf})}{\mu B},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi kh}{\ln(r_0/r_w) + S}

мұндағы:

$q_s$ дебит в стандартных условиях; при закачке отрицателен, м³/сут
$\mathrm{WI}$ индекс скважины (well index), геометрическая часть без вязкости, мД·м
$p_0$ давление ячейки со скважиной, рассчитанное симулятором, МПа
$p_{wf}$ забойное давление (на глубине привязки скважины), МПа
$k,\ h$ проницаемость ячейки и вскрытая толщина пласта в ней, мД, м
$r_0$ эквивалентный радиус ячейки: расстояние, на котором давление радиального притока равно давлению ячейки, м
$r_w,\ S$ радиус скважины и скин-фактор, м, —
$\mu,\ B$ вязкость и объёмный коэффициент флюида, мПа·с, м³/м³

Бірліктер: метрические промысловые; логарифм натуральный

Мына жағдайда орындалады

вертикальная скважина в центре ячейки вскрывает всю её толщину; однофазный приток;
вблизи скважины течение близко к установившемуся радиальному (на расстояниях порядка размера ячейки);
$r_0$ рассчитан по формуле, подходящей для сетки, — ниже; соседние скважины и границы модели — в нескольких ячейках.

Индекс скважины — закон Дарси для кольца от стенки скважины до $r_0$ . Произведение $0{,}0853\,\mathrm{WI}/(\mu B)$ — коэффициент продуктивности, отнесённый к давлению ячейки; обозначим его $J_0$ . Скин входит в индекс так же, как в формулу Дюпюи: повреждение призабойной зоны уменьшает индекс, гидроразрыв или кислотная обработка увеличивают.

Басқа бірліктер жүйелерінде (2)

СИ

q = \frac{\mathrm{WI}}{\mu}\,(p_0 - p_{wf}),\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi kh}{\ln(r_0/r_w) + S}

$q$ — м³/с в пластовых условиях, $k$ — м², $h$ — м, $\mu$ — Па·с, $p$ — Па; WI — м³.

Постоянной нет.

Промысловые единицы (oilfield)

q_s = \frac{1{,}127\cdot10^{-3}\,\mathrm{WI}\,(p_0 - p_{wf})}{\mu B}

WI — мД·ft ( $k$ в мД, $h$ в ft), $p$ — psi, $\mu$ — сП, $q_s$ — STB/d.

$1{,}127\cdot10^{-3}$ — постоянная закона Дарси в промысловых единицах (Проницаемость горных пород).

Вся трудность — в эквивалентном радиусе. Интуиция подсказывает несколько ответов: половина ячейки, радиус круга той же площади ( $0{,}56\,\Delta x$ ), радиус, на котором давление равно среднему по площади ячейки. Все они неверны. Ответ определяется не физикой, а тем, как разностная схема считает давление ячейки, и его впервые нашёл Д. Писмен (D. Peaceman) в 1978 г., сравнив численные решения с аналитическими.

Эквивалентный радиус ячейки

Простое рассуждение даёт ответ почти точно. Возьмём квадратную ячейку со скважиной в центре и четырёх её соседей в однородном пласте при установившемся притоке. В пятиточечной схеме из урока об уравнении давления к ячейке со скважиной флюид приходит только от четырёх соседей. Для квадратных ячеек проводимость связи $k\,(\Delta y\,h)/\Delta x$ равна просто $kh$ и не зависит от размера ячеек.

СызбаЯчейка со скважиной и четыре соседние (схема, не в масштабе): весь дебит приходит через четыре грани; центры соседей лежат на окружности радиусом

\Delta x

, давление ячейки со скважиной равно давлению радиального притока на окружности

r_0 \approx 0{,}2\,\Delta x

Простой вывод эквивалентного радиуса

1
Разностное уравнение ячейки со скважиной
По симметрии давления четырёх соседей одинаковы и равны $p_1$ ; весь дебит $q$ (в пластовых условиях) приходит через четыре грани: $4\,(kh/\mu)\,(p_1 - p_0) = q$ , откуда $p_1 - p_0 = q\mu/(4kh)$ .
2
Соседи на радиальном профиле
Предположим, что давления соседей совпадают с давлением радиального притока на расстоянии $\Delta x$ от скважины, а давление ячейки — на расстоянии $r_0$ . Тогда разность давлений между ними равна $q\mu/(2\pi kh)$ , умноженному на $\ln(\Delta x/r_0)$ .
3
Приравниваем
$\dfrac{q\mu}{4kh} = \dfrac{q\mu}{2\pi kh}\ln\dfrac{\Delta x}{r_0}$ , откуда $\ln(\Delta x/r_0) = \pi/2$ и $r_0 = \e^{-\pi/2}\,\Delta x \approx 0{,}208\,\Delta x$ .
4
Точное значение
Давления соседей на самом деле немного отличаются от радиального профиля. Точное решение разностных уравнений на бесконечной сетке даёт $r_0 = 0{,}1985\,\Delta x$ (дополнительный раздел); на практике берут $0{,}2\,\Delta x$ . Разница в 5 % по радиусу меняет индекс скважины меньше чем на 1 %: радиус входит под логарифм.

Эквивалентный радиус ячейки в изотропном пласте (формула Писмена)

r_0 = 0{,}14\,\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\qquad (\Delta x = \Delta y:\ \ r_0 = 0{,}198\,\Delta x)

мұндағы:

$r_0$ эквивалентный радиус ячейки, м
$\Delta x,\ \Delta y$ размеры ячейки в плане, м

Бірліктер: любые единицы длины (одинаковые)

Мына жағдайда орындалады

изотропный пласт; вертикальная скважина в центре ячейки; пятиточечная схема на декартовой сетке;
до других скважин и границ модели несколько ячеек; соседние ячейки того же размера;
отношение сторон ячейки на точность почти не влияет: на равномерной сетке формула верна и для сильно вытянутых ячеек (расхождение с точным решением около 0,3 %).

Эквивалентный радиус пропорционален размеру ячейки: чем крупнее ячейка, тем дальше от скважины «находится» её давление и тем больше разница между давлением ячейки и забойным. Постоянная 0,14 — округление $0{,}1985/\sqrt2$ .

Есептеу мысалыИндекс скважины и забойное давление в модели

Бастапқы деректер (шартты)

Скважина (урок Установившийся радиальный приток): $k$ = 60 мД; $h$ = 18 м; $\mu$ = 1,8 мПа·с; $B$ = 1,25; $r_w$ = 0,108 м; $S$ = +4
Ячейка: 100 × 100 м, скважина в центре
Режим: заданный дебит 95 м³/сут в стандартных условиях; давление ячейки по расчёту симулятора $p_0$ = 20,90 МПа

Шешім

Эквивалентный радиус: $r_0 = 0{,}14\sqrt{100^2 + 100^2} = 19{,}80$ м; $\ln(r_0/r_w) = \ln(19{,}80/0{,}108) = 5{,}211$ .
Индекс скважины: $\mathrm{WI} = \dfrac{2\pi\cdot60\cdot18}{5{,}211 + 4} = 736{,}7$ мД·м.
Продуктивность по давлению ячейки: $J_0 = \dfrac{0{,}0853\cdot736{,}7}{1{,}8\cdot1{,}25} = 27{,}93$ м³/(сут·МПа).
Разница давлений ячейки и забоя: $p_0 - p_{wf} = 95/27{,}93 = 3{,}40$ МПа; забойное давление $p_{wf} = 20{,}90 - 3{,}40 = 17{,}50$ МПа.
Доля депрессии внутри вписанного в ячейку круга радиусом 50 м (по сравнению с кругом радиусом 400 м): $\dfrac{\ln(50/0{,}108) + 4}{\ln(400/0{,}108) + 4} = 0{,}830$ .
Если ошибочно взять радиус круга той же площади $100/\sqrt\pi = 56{,}4$ м: $\mathrm{WI} = 661{,}5$ мД·м, $J_0$ ниже на 10 %, и при том же давлении ячейки забойное давление получилось бы 17,11 МПа.

Жауап: Индекс скважины 736,7 мД·м; при дебите 95 м³/сут забойное давление на 3,40 МПа ниже давления ячейки — 17,50 МПа.

Бұл нені білдіреді. Внутри ячейки со скважиной расходуется 83 % депрессии, поэтому давление ячейки нельзя сравнивать с замеренным забойным: разница в несколько мегапаскалей — норма, а не ошибка модели. Ошибка в эквивалентном радиусе почти втрое меняет индекс лишь на 10 % — радиус стоит под логарифмом, — но и это смещение забойного давления на 0,39 МПа заметно при адаптации к истории. Данные примера условные.

Какому радиусу радиального притока отвечают разные «средние» давления квадратной ячейки

Давление: Давление ячейки со скважиной в разностной схеме
Радиус, доли $\Delta x$: 0,1985
Где встречается: модель скважины Писмена (в формуле — 0,198)

Давление: Среднее давление замкнутого квадрата со скважиной в центре (псевдоустановившийся приток)
Радиус, доли $\Delta x$: 0,270
Где встречается: скважина в каждой ячейке; квадратная область дренирования

Давление: Среднее по площади ячейки давление установившегося притока
Радиус, доли $\Delta x$: 0,346
Где встречается: часто ошибочно принимают за давление ячейки

Давление: Давление на окружности той же площади
Радиус, доли $\Delta x$: 0,564
Где встречается: грубая замена квадрата кругом

Давление	Радиус, доли $\Delta x$	Где встречается
Давление ячейки со скважиной в разностной схеме	0,1985	модель скважины Писмена (в формуле — 0,198)
Среднее давление замкнутого квадрата со скважиной в центре (псевдоустановившийся приток)	0,270	скважина в каждой ячейке; квадратная область дренирования
Среднее по площади ячейки давление установившегося притока	0,346	часто ошибочно принимают за давление ячейки
Давление на окружности той же площади	0,564	грубая замена квадрата кругом

Расчёт для однородного изотропного пласта и скважины в центре квадрата со стороной $\Delta x$ . Значение 0,270 следует из коэффициента формы квадрата 30,88 (Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы), 0,346 — из осреднения $\ln r$ по площади квадрата.

Давление ячейки — не среднее по ячейке

Кажется естественным считать давление ячейки средним давлением по её площади. Но среднее давление установившегося притока по площади квадратной ячейки отвечает радиусу $0{,}346\,\Delta x$ , а давление ячейки в расчёте — радиусу $0{,}198\,\Delta x$ : оно ниже среднего. Разностная схема не усредняет истинное давление по ячейке; давление ячейки — это величина, при которой выполняются балансы её и соседних ячеек, и точечный сток в центре ячейки «тянет» её давление вниз.

Проверка по установившемуся радиальному притоку

Модель скважины проверяют так же, как любую численную схему, — на задаче с известным решением. Поместим скважину из урока об установившемся притоке в центр сетки из 9 × 9 ячеек по 100 м. В крайних ячейках будем держать давление установившегося радиального притока на расстоянии их центров — тогда точное решение во всём квадрате известно. Симулятор рассчитает давления внутренних ячеек, а модель скважины — забойное давление; его можно сравнить с точным.

Есептеу мысалыМодель на сетке против формулы Дюпюи

Бастапқы деректер (шартты)

Скважина и пласт: из предыдущего примера; давление 22,0 МПа на расстоянии 400 м, забойное давление 17,5 МПа
Сетка: 9 × 9 квадратных ячеек по 100 м; в крайних ячейках давление установившегося притока
Результат расчёта на сетке: давление ячейки со скважиной 20,894 МПа; соседней ячейки по грани — 21,473 МПа

Шешім

Дебит по формуле Дюпюи со скином (урок Установившийся радиальный приток): $q_s = \dfrac{0{,}536\cdot60\cdot18\cdot4{,}5}{1{,}8\cdot1{,}25\,(\ln(400/0{,}108) + 4)} = 94{,}8$ м³/сут.
«Единица» давления $q_sB\mu/(0{,}536\,kh) = 0{,}3683$ МПа. Точное давление на расстоянии $r_0$ = 19,80 м: $17{,}5 + 0{,}3683\cdot(5{,}2113 + 4) = 20{,}893$ МПа — расчёт на сетке дал 20,894 МПа.
Точное давление в центре соседней ячейки, в 100 м от скважины: $17{,}5 + 0{,}3683\cdot(\ln(100/0{,}108) + 4) = 21{,}489$ МПа — на сетке 21,473 МПа.
Забойное давление по модели скважины: $p_{wf} = 20{,}894 - 94{,}8/27{,}93 = 17{,}50$ МПа при точном 17,50 МПа.
Без модели скважины (забойное давление принято равным давлению ячейки) ошибка составила бы 3,4 МПа; с радиусом круга той же площади — 0,38 МПа.

Жауап: С эквивалентным радиусом Писмена модель воспроизводит забойное давление: 17,50 МПа при точных 17,50 МПа, расхождение меньше 0,01 МПа.

Бұл нені білдіреді. Сетка из ячеек по 100 м правильно передаёт давление вдали от скважины, а модель скважины — перепад в ячейке со скважиной. Ячейки, соседние со скважиной, немного отклоняются от точного профиля (на 0,016 МПа): пятиточечная схема лишь приближённо передаёт логарифмический профиль, который круто изгибается в пределах одной ячейки от скважины. Такую проверку полезно повторять при смене сетки или симулятора. Данные примера условные.

ЕсептеуДавление вдоль ряда ячеек через скважину для проверки выше: сплошная кривая — точный установившийся радиальный приток (у стенки скважины воронка заканчивается вертикальным скачком — перепадом давления на скине +4 — до забойных 17,5 МПа), горизонтальные отрезки — давления ячеек на сетке по 100 м. Давление ячейки со скважиной совпадает с кривой на расстоянии

r_0 \approx 20

м.

Анизотропный пласт и прямоугольные ячейки

Если проницаемость в плане зависит от направления, воронка депрессии вокруг скважины — не круг, а эллипс, вытянутый вдоль большей проницаемости (анизотропия). Растянув координаты так, чтобы пласт стал изотропным с проницаемостью $\sqrt{k_xk_y}$ , задачу сводят к изотропной; ячейка при этом превращается в прямоугольник других пропорций, а круглый ствол — в эллипс. Результат пересчёта даёт формулу Писмена для анизотропного пласта.

Эквивалентный радиус и индекс скважины в анизотропном пласте

r_0 = 0{,}28\,\frac{\left[(k_y/k_x)^{1/2}\,\Delta x^2 + (k_x/k_y)^{1/2}\,\Delta y^2\right]^{1/2}}{(k_y/k_x)^{1/4} + (k_x/k_y)^{1/4}},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi\sqrt{k_xk_y}\,h}{\ln(r_0/r_w) + S}

мұндағы:

$k_x,\ k_y$ главные проницаемости в плане (оси ячеек направлены вдоль них), мД
$\Delta x,\ \Delta y$ размеры ячейки вдоль осей $x$ и $y$ , м
$r_0,\ r_w,\ h,\ S$ эквивалентный радиус, радиус скважины, толщина, скин, м, м, м, —

Бірліктер: любые согласованные (проницаемости входят отношениями и через $\sqrt{k_xk_y}$ )

Мына жағдайда орындалады

вертикальная скважина в центре ячейки; оси сетки совпадают с главными направлениями проницаемости;
как в изотропном случае: равномерная сетка, до других скважин и границ модели несколько ячеек; отношение сторон ячейки на точность почти не влияет.

При $k_x = k_y$ формула переходит в $0{,}14\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . Главное в анизотропном пласте — не уточнение радиуса, а проницаемость в индексе: среднее геометрическое $\sqrt{k_xk_y}$ , потому что именно оно определяет приток к вертикальной скважине. Удобно выбирать ячейки с отношением сторон $\Delta x/\Delta y = \sqrt{k_x/k_y}$ : в «растянутых» координатах они квадратные.

Есептеу мысалыСкважина в вытянутой ячейке анизотропного пласта

Бастапқы деректер (шартты)

Пласт: $k_x$ = 120 мД, $k_y$ = 30 мД; $h$ = 18 м; $r_w$ = 0,108 м; $S$ = +4
Ячейка: $\Delta x$ = 200 м, $\Delta y$ = 50 м

Шешім

Отношения проницаемостей: $(k_y/k_x)^{1/2} = 0{,}5$ , $(k_x/k_y)^{1/2} = 2$ ; $(k_y/k_x)^{1/4} = 0{,}7071$ , $(k_x/k_y)^{1/4} = 1{,}4142$ .
$r_0 = 0{,}28\cdot\dfrac{\sqrt{0{,}5\cdot200^2 + 2\cdot50^2}}{0{,}7071 + 1{,}4142} = 0{,}28\cdot\dfrac{158{,}1}{2{,}1213} = 20{,}87$ м.
Индекс скважины с $\sqrt{120\cdot30} = 60$ мД: $\mathrm{WI} = \dfrac{2\pi\cdot60\cdot18}{\ln(20{,}87/0{,}108) + 4} = 732{,}5$ мД·м.
Ошибка 1 — анизотропию не учли: $r_0 = 0{,}14\sqrt{200^2 + 50^2} = 28{,}86$ м и средняя арифметическая проницаемость 75 мД: $\mathrm{WI} = 884{,}7$ мД·м, на 21 % больше.
Ошибка 2 — формула для квадрата по длинной стороне, $0{,}2\cdot200 = 40$ м, и проницаемость $k_x$ = 120 мД: $\mathrm{WI} = 1369$ мД·м, на 87 % больше.

Жауап: Правильный индекс скважины 732,5 мД·м; без учёта анизотропии он завышается на 21–87 %.

Бұл нені білдіреді. Эквивалентный радиус в вытянутой ячейке анизотропного пласта оказался почти таким же, как в квадратной ячейке 100 × 100 м изотропного пласта, — 20,87 м против 19,80 м. Почти вся ошибка неправильных вариантов — в проницаемости (завышенный радиус даже немного снижает индекс): модель с проницаемостью $k_x$ в индексе завышала бы дебит скважины почти вдвое. Данные примера условные.

Скважина в нескольких слоях и несколько фаз

Вертикальная скважина в трёхмерной модели проходит через столбец ячеек — по одной на каждый слой сетки. Для каждой вскрытой ячейки рассчитывают свой индекс со своей проницаемостью, толщиной и скином. Ствол у всех слоёв общий, поэтому забойные давления слоёв связаны: в простейшем случае их считают одинаковыми, точнее — отличающимися на гидростатический вес столба флюида в стволе между слоями.

Распределение дебита между слоями

q_l = J_l\,(p_l - p_{wf}),\qquad p_{wf} = \frac{\sum_l J_l\,p_l - q}{\sum_l J_l},\qquad J_l = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}_l}{\mu B}

мұндағы:

$q_l,\ q$ дебит из слоя $l$ и заданный дебит скважины в стандартных условиях, м³/сут
$J_l$ продуктивность слоя по давлению его ячейки, м³/(сут·МПа)
$p_l$ давление ячейки слоя $l$ , через которую проходит скважина, МПа
$p_{wf}$ общее забойное давление (привязанное к одной глубине), МПа
$\mathrm{WI}_l$ индекс скважины в слое $l$ , мД·м

Бірліктер: метрические промысловые

Мына жағдайда орындалады

однофазный приток; давление в стволе одинаково по всем слоям (тонкий интервал; иначе к $p_{wf}$ каждого слоя добавляют вес столба флюида в стволе);
если давление ячейки слоя ниже забойного, $q_l$ отрицателен: флюид уходит из ствола в этот слой (переток по стволу).

При заданном дебите скважины забойное давление — средневзвешенное давление ячеек с весами $J_l$ , сниженное на $q/\sum J_l$ . Слой с высокой проводимостью отдаёт больше, даже если его давление ниже, — и потому истощается быстрее.

Есептеу мысалыСкважина в трёх слоях: распределение дебита и ограничение по забойному давлению

Бастапқы деректер (шартты)

Слои (сверху вниз): 1: $k$ = 150 мД, $h$ = 6 м, $p_1$ = 21,0 МПа; 2: 20 мД, 8 м, 21,6 МПа; 3: 300 мД, 4 м, 20,4 МПа
Общее для слоёв: ячейки 100 × 100 м ( $r_0$ = 19,80 м); $r_w$ = 0,108 м; $S$ = +2; $\mu$ = 1,8 мПа·с; $B$ = 1,25
Режим: заданный дебит 150 м³/сут; наименьшее допустимое забойное давление 18,0 МПа

Шешім

Знаменатель индекса: $\ln(19{,}80/0{,}108) + 2 = 7{,}2113$ . Индексы: $\mathrm{WI}_1 = 2\pi\cdot150\cdot6/7{,}2113 = 784{,}17$ , $\mathrm{WI}_2 = 139{,}41$ , $\mathrm{WI}_3 = 1045{,}56$ мД·м.
Продуктивности $J_l = 0{,}0853\,\mathrm{WI}_l/(1{,}8\cdot1{,}25)$ : 29,729; 5,285; 39,638 м³/(сут·МПа); сумма 74,652.
Сумма $\sum J_l\,p_l = 29{,}729\cdot21{,}0 + 5{,}285\cdot21{,}6 + 39{,}638\cdot20{,}4 = 1547{,}1$ м³/сут; забойное давление $p_{wf} = (1547{,}1 - 150)/74{,}652 = 18{,}71$ МПа — выше допустимых 18,0 МПа.
Дебиты слоёв $q_l = J_l\,(p_l - p_{wf})$ : 68; 15; 67 м³/сут.
Если давление в пласте снизится так, что для 150 м³/сут понадобится забойное давление ниже 18,0 МПа, скважина перейдёт на ограничение по давлению. При нынешних давлениях ячеек и $p_{wf}$ = 18,0 МПа она дала бы $\sum J_l\,(p_l - 18{,}0) = 203$ м³/сут — больше заданного, поэтому ограничение пока не действует.

Жауап: Забойное давление 18,71 МПа; слои дают 68, 15 и 67 м³/сут; при допустимом забойном давлении 18,0 МПа скважина могла бы дать до 203 м³/сут.

Бұл нені білдіреді. Тонкий высокопроницаемый слой 3 даёт 45 % дебита при самом низком давлении, а толстый плотный слой 2 — лишь 10 %, хотя давление в нём выше всех. В модели это видно по ячейкам: слой 3 истощается быстрее, и со временем его вклад падает. Если в слое с низким давлением давление ячейки опустится ниже забойного, модель покажет переток по стволу из других слоёв в этот. Данные примера условные.

При многофазном притоке индекс скважины остаётся тем же, а дебит каждой фазы пропорционален её подвижности в ячейке со скважиной (Относительная проницаемость): $q_o$ содержит множитель $k_{ro}/(\mu_oB_o)$ , $q_w$ — $k_{rw}/(\mu_wB_w)$ . Поэтому обводнённость скважины в модели определяется насыщенностью ячеек, через которые она проходит, — и при крупных ячейках вода «приходит» в скважину раньше или позже, чем в действительности (Сетки в гидродинамических моделях).

Дебиты фаз из ячейки со скважиной

q_{o} = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}\,k_{ro}}{\mu_oB_o}\,(p_0 - p_{wf}),\qquad q_{w} = \frac{0{,}0853\,\mathrm{WI}\,k_{rw}}{\mu_wB_w}\,(p_0 - p_{wf})

мұндағы:

$q_o,\ q_w$ дебиты нефти и воды в стандартных условиях, м³/сут
$k_{ro},\ k_{rw}$ относительные проницаемости нефти и воды при насыщенности ячейки, —
$\mu_o,\ \mu_w,\ B_o,\ B_w$ вязкости и объёмные коэффициенты нефти и воды, мПа·с, м³/м³
$\mathrm{WI},\ p_0,\ p_{wf}$ индекс скважины, давление ячейки и забойное давление, мД·м, МПа, МПа

Бірліктер: метрические промысловые

Мына жағдайда орындалады

капиллярное давление в ячейке не учитывается (давления фаз одинаковы); $k$ в индексе — абсолютная проницаемость.

Индекс описывает геометрию притока и одинаков для всех фаз, подвижность — какая фаза и в какой доле течёт.

Режимы работы скважин в модели

Модель скважины даёт одно уравнение на две неизвестные — дебит и забойное давление. Поэтому одну из них задают, а другую рассчитывают. Задать обе нельзя: при заданном забойном давлении дебит определяет пласт. Это повторяет промысловую практику: скважину эксплуатируют либо с заданным дебитом (например, насосом с регулируемой подачей), либо с заданным давлением на забое или на устье.

Заданный дебит: нефти, жидкости, газа или закачки. Модель рассчитывает забойное давление; если оно выходит за ограничение (ниже допустимого у добывающей скважины, выше допустимого у нагнетательной), скважина переходит на режим заданного давления.
Заданное забойное давление: модель рассчитывает дебит; ограничением служит наибольший дебит. Так часто ведут добывающие скважины при прогнозе.
Заданное устьевое давление: забойное давление рассчитывают по давлению на устье и потерям в лифте — по таблицам многофазного течения в трубах (Многофазный поток в лифтовых трубах).
Ограничения группы: суммарный дебит группы скважин, пласта или месторождения, мощность системы подготовки, закачка в группе. Симулятор распределяет общий дебит между скважинами по их возможностям.

Для закачки воды часто задают компенсацию отбора: закачивать столько воды, сколько пластового объёма отобрано. Объём в пласте равен объёму в стандартных условиях, умноженному на объёмный коэффициент, поэтому нужная закачка в стандартных кубометрах воды:

Закачка воды для полной компенсации отбора

q_{w,\text{зак}} = \frac{B_o\,q_o + B_w\,q_w}{B_w}

мұндағы:

$q_{w,\text{зак}}$ закачка воды в стандартных условиях, м³/сут
$q_o,\ q_w$ добыча нефти и воды в стандартных условиях, м³/сут
$B_o,\ B_w$ объёмные коэффициенты нефти и воды, м³/м³

Бірліктер: любые одинаковые единицы расхода

Мына жағдайда орындалады

свободного газа в пласте нет (давление выше давления насыщения); иначе к числителю добавляют пластовый объём свободного газа.

Так как $B_o > B_w$ , при добыче одной нефти закачивают больше воды, чем добывают нефти в стандартных кубометрах: нефть в пласте занимает больший объём, чем на поверхности.

Все скважины на заданных дебитах — опасно

Если все добывающие и нагнетательные скважины работают с заданными дебитами, давление в модели определяется только разностью закачки и отбора в пластовых условиях. Небольшая перекомпенсация в жидкости с малой сжимаемостью поднимает давление выше давления разрыва породы, недокомпенсация опускает его ниже давления насыщения. Поэтому хотя бы часть скважин ведут по давлению или ставят им ограничения по давлению — тогда модель сама находит согласованные дебиты.

Подгонка индекса скважины

При адаптации к истории индекс скважины иногда умножают на коэффициент, чтобы модель дала фактическую продуктивность (Адаптация модели к истории разработки). Это допустимо в разумных пределах, но сначала проверяют исходные данные: проницаемость и толщину ячеек, интервалы перфорации, скин по исследованиям, давление в пласте. Множитель индекса, скрывающий ошибку в проницаемости, «починит» историю одной скважины и испортит прогноз соседних.

Терминдер мен белгілер

Модель скважины: формула, связывающая дебит скважины, давление ячейки, через которую она проходит, и забойное давление.
Индекс скважины WI: $2\pi kh/(\ln(r_0/r_w) + S)$ , мД·м: геометрическая часть коэффициента продуктивности, отнесённого к давлению ячейки.
Эквивалентный радиус ячейки $r_0$: расстояние от скважины, на котором давление установившегося радиального притока равно давлению ячейки; около $0{,}2\,\Delta x$ для квадратной ячейки.
Давление ячейки со скважиной $p_0$: давление, рассчитанное симулятором для ячейки со скважиной; выше забойного на $q_s/J_0$ и не равно среднему давлению по площади ячейки.
Продуктивность по давлению ячейки $J_0$: $0{,}0853\,\mathrm{WI}/(\mu B)$ , м³/(сут·МПа): дебит на 1 МПа разности давлений ячейки и забоя.
Режим работы скважины: что задано для скважины в модели — дебит или давление (забойное, устьевое) — и какие ограничения действуют на другую величину.

Жиі қателіктер

Қате

«Давление в ячейке со скважиной — это и есть забойное давление».

Шын мәнінде

Давление ячейки выше на $q_s/J_0$ : в примере урока при 95 м³/сут — на 3,4 МПа. Забойное давление модель рассчитывает отдельно, по индексу скважины.

Қате

«Давление ячейки — среднее давление по её площади».

Шын мәнінде

Разностная схема не осредняет истинное давление: давление ячейки со скважиной отвечает радиусу $0{,}198\,\Delta x$ , а среднее по площади — $0{,}346\,\Delta x$ . Давление ячейки ниже среднего по ней.

Қате

«Индекс скважины можно взять из коэффициента продуктивности по исследованиям».

Шын мәнінде

Коэффициент продуктивности по исследованиям отнесён к среднему давлению области дренирования (в его знаменателе $\ln(r_e/r_w) - 3/4 + S$ ), индекс — к давлению ячейки ( $\ln(r_0/r_w) + S$ ). Для скважины урока в ячейке 100 м и области радиусом 400 м они различаются примерно на четверть. Из исследований в модель переносят проницаемость и скин, а индекс рассчитывают.

Қате

«В анизотропном пласте в индекс подставляют большую проницаемость — поток к скважине идёт в основном по ней».

Шын мәнінде

Приток к вертикальной скважине определяет среднее геометрическое $\sqrt{k_xk_y}$ ; с $k_x$ индекс в примере урока завышался на 87 %.

Қате

«Чем мельче ячейка со скважиной, тем ближе её давление к забойному — при достаточно мелкой сетке модель скважины не нужна».

Шын мәнінде

Разница $p_0 - p_{wf}$ убывает лишь как логарифм размера ячейки: уменьшение ячейки вдвое снижает её на $q_s B\mu\ln2/(0{,}536\,kh)$ , а не вдвое. Сравнять давления можно только ячейками размером порядка радиуса скважины, что непрактично.

Толық: тереңдетілген

Откуда 0,1985

Простой вывод предполагал, что давления соседей лежат точно на радиальном профиле. Точнее решить сами разностные уравнения на бесконечной квадратной сетке со стоком в одной ячейке. Это решение известно: вдали от скважины оно переходит в логарифм, но со сдвигом — давление ячейки со стоком отличается от давлений далёких ячеек так, как если бы радиальный профиль проходил через неё на расстоянии

Эквивалентный радиус пятиточечной схемы (точное значение)

r_0 = \frac{\Delta x}{2\sqrt2\,\gamma} \approx 0{,}1985\,\Delta x

мұндағы:

$\gamma$ $\e^{0{,}5772} = 1{,}781$ — экспонента постоянной Эйлера (та же, что в логарифмическом приближении интегральной показательной функции и в формулах притока), —
$\Delta x$ сторона квадратной ячейки, м

Бірліктер: любые единицы длины

Мына жағдайда орындалады

установившееся течение; бесконечная равномерная квадратная сетка; пятиточечная схема; изотропный однородный пласт.

Простой вывод дал $\e^{-\pi/2} = 0{,}208$ : соседи на самом деле лежат чуть ниже радиального профиля (в нашей проверке — на 0,016 МПа при «единице» 0,37 МПа), и ячейка со скважиной «видится» чуть ближе к стволу. Численный расчёт на сетке 41 × 41 даёт 0,1985 с точностью до четвёртого знака.

Соотношение годится и для неустановившегося притока — после того как воронка депрессии охватила несколько ячеек вокруг скважины. В первые часы и сутки после пуска, пока возмущение не вышло за ячейку со скважиной, модель не описывает неустановившийся приток, и ранние участки записей исследований скважин (Гидродинамические исследования: цели и виды) на крупной сетке воспроизвести нельзя: для этого нужна мелкая радиальная сетка у скважины (Сетки в гидродинамических моделях).

Когда формула Писмена неточна

Скважины близко друг к другу. Вывод предполагает, что вокруг ячейки со скважиной давление следует радиальному профилю. Если в каждой ячейке стоит скважина с одним и тем же дебитом, перетоков между ячейками нет, давление ячейки равно среднему давлению её замкнутого квадрата, и верный эквивалентный радиус — $0{,}270\,\Delta x$ , а не $0{,}198\,\Delta x$ . Для скважин в соседних ячейках и нескольких скважин в одной ячейке индекс пересчитывают.
Скважина у границы модели или не в центре ячейки. Непроницаемая граница рядом со скважиной действует как отражённая скважина (Принцип суперпозиции); симуляторы допускают ручное задание индекса для таких случаев.
Очень мелкие ячейки. При $r_0$ , сравнимом с радиусом скважины (ячейки в доли метра), логарифм мал или отрицателен, и формула теряет смысл; такие ячейки у скважины не нужны.
Горизонтальная скважина. Для ствола вдоль оси $x$ в формулу подставляют размеры ячейки поперёк ствола и проницаемости $k_y$ , $k_z$ , а толщину заменяют длиной ствола в ячейке $\Delta x$ . Ячейки модели обычно тонкие ( $\Delta z \ll \Delta y$ ), ствол близок к кровле и подошве слоя, и точность формулы падает.
Неполное вскрытие и наклонный ствол. В многослойной модели неполное вскрытие задают перфорацией части слоёв, и сходящийся к интервалу поток сетка с достаточно тонкими слоями передаёт сама. Поэтому в индексы слоёв вводят скин повреждения, а не полный скин по исследованию: тот уже содержит псевдоскин неполного вскрытия, и сопротивление было бы учтено дважды. Псевдоскин (Несовершенство вскрытия и наклон скважины) добавляют, только если интервал вскрытия меньше толщины ячейки и сетка его не разрешает.
Высокие скорости у ствола. Для газовых скважин добавляют скин, растущий с дебитом (Приток при высоких дебитах: нелинейная фильтрация).

Индекс горизонтальной скважины вдоль оси x

r_0 = 0{,}28\,\frac{\left[(k_z/k_y)^{1/2}\,\Delta y^2 + (k_y/k_z)^{1/2}\,\Delta z^2\right]^{1/2}}{(k_z/k_y)^{1/4} + (k_y/k_z)^{1/4}},\qquad \mathrm{WI} = \frac{2\pi\sqrt{k_yk_z}\,\Delta x}{\ln(r_0/r_w) + S}

мұндағы:

$k_y,\ k_z$ проницаемости поперёк ствола: горизонтальная и вертикальная, мД
$\Delta y,\ \Delta z$ размеры ячейки поперёк ствола, м
$\Delta x$ длина ствола в ячейке, м

Бірліктер: как в формуле для вертикальной скважины

Мына жағдайда орындалады

ствол проходит через центр ячейки вдоль оси $x$ ; до кровли и подошвы пласта несколько ячеек — для тонкого слоя в одну ячейку формула лишь оценка.

Та же формула Писмена, повёрнутая на 90°: плоскость, поперёк которой сходится поток к стволу, — теперь $y$ – $z$ .

Басқа тақырыптармен байланыс

Установившийся радиальный приток — формула Дюпюи и логарифмический профиль давления, на которых построена модель скважины.
Скин-фактор — скин в индексе скважины и что он описывает.
Уравнение давления для однофазной фильтрации — уравнение ячейки и пятиточечная схема, давление которой интерпретирует модель скважины.
Сетки в гидродинамических моделях — размер ячеек, локальное измельчение и радиальные сетки у скважин.
Псевдоустановившийся приток и коэффициент формы — среднее давление области дренирования и коэффициент формы.
Адаптация модели к истории разработки — адаптация продуктивности скважин и её опасности.
Многофазный поток в лифтовых трубах — пересчёт устьевого давления в забойное.

Өзіңізді тексеріңіз

1
Ячейка модели — квадрат 50 × 50 м, скважина в центре, пласт изотропный. Чему примерно равен эквивалентный радиус ячейки?
1. А.25 м — половине ячейки
2. Б.около 28 м — радиусу круга той же площади
3. В.около 10 м
4. Г.0,1 м — радиусу скважины
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. около 10 м
По формуле Писмена $r_0 = 0{,}14\sqrt{50^2 + 50^2} \approx 9{,}9$ м, то есть около $0{,}2\,\Delta x$ . Радиус круга той же площади ( $50/\sqrt\pi \approx 28$ м) и половина ячейки дают заниженный индекс скважины.
2
Скважина работает с заданным дебитом 60 м³/сут; давление её ячейки 18,4 МПа, продуктивность по давлению ячейки $J_0$ = 12 м³/(сут·МПа), наименьшее допустимое забойное давление 14 МПа. Каково забойное давление и каким будет дебит? А если давление ячейки упадёт до 17,4 МПа?
Жауабын көрсету
$p_{wf} = 18{,}4 - 60/12 = 13{,}4$ МПа — ниже допустимых 14 МПа, поэтому уже сейчас скважина не может дать 60 м³/сут: симулятор переведёт её на режим давления, и дебит составит $12\cdot(18{,}4 - 14) = 52{,}8$ м³/сут. При давлении ячейки 17,4 МПа дебит упадёт до $12\cdot3{,}4 = 40{,}8$ м³/сут.
3
Проницаемость пласта вдоль оси $x$ 400 мД, вдоль $y$ — 25 мД. Какую проницаемость подставляют в индекс вертикальной скважины?
1. А.400 мД
2. Б.25 мД — меньшую
3. В.100 мД — среднее геометрическое
4. Г.212,5 мД — среднее арифметическое
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: В. 100 мД — среднее геометрическое
Приток к вертикальной скважине в анизотропном пласте эквивалентен притоку в изотропном пласте с проницаемостью $\sqrt{k_xk_y} = \sqrt{400\cdot25} = 100$ мД. Отношение проницаемостей влияет ещё и на эквивалентный радиус, но слабее — через логарифм.
4
Добывающая скважина даёт 200 м³/сут нефти ( $B_o$ = 1,3) и 50 м³/сут воды ( $B_w$ = 1,02) в стандартных условиях. Сколько воды нужно закачивать для полной компенсации отбора?
Жауабын көрсету
Пластовый объём отбора: $200\cdot1{,}3 + 50\cdot1{,}02 = 260 + 51 = 311$ м³/сут. В стандартных кубометрах воды: $311/1{,}02 \approx 305$ м³/сут — больше, чем суммарная добыча 250 м³/сут, потому что нефть в пласте занимает больший объём, чем на поверхности.
5
Ячейку со скважиной 100 × 100 м заменили ячейкой 50 × 50 м (дебит тот же). Как изменится разница давлений ячейки и забоя?
1. А.Уменьшится вдвое
2. Б.Уменьшится на $q_sB\mu\ln2/(0{,}536\,kh)$ — для скважины урока примерно на 0,26 МПа из 3,4
3. В.Не изменится
4. Г.Станет равной нулю
Жауабын көрсету
Дұрыс жауап: Б. Уменьшится на $q_sB\mu\ln2/(0{,}536\,kh)$ — для скважины урока примерно на 0,26 МПа из 3,4
Разница $p_0 - p_{wf} = \dfrac{q_sB\mu}{0{,}536\,kh}\left(\ln\dfrac{r_0}{r_w} + S\right)$ , а $r_0$ пропорционален размеру ячейки. Вдвое меньшая ячейка уменьшает логарифм на $\ln2 \approx 0{,}69$ ; при «единице» давления около 0,37 МПа (скважина урока, 95 м³/сут) это примерно 0,26 МПа. Давление ячейки по-прежнему намного выше забойного.
6
Скважина в модели при фактическом забойном давлении даёт на 30 % меньше нефти, чем на промысле. Что проверить, прежде чем умножать её индекс на коэффициент?
Жауабын көрсету
Проницаемость и толщину ячеек, через которые проходит скважина (не занижены ли при ремасштабировании), интервалы перфорации и вскрытые слои, скин по исследованиям (после обработки он мог стать отрицательным), давление в ячейках (не занижено ли — например, из-за слабого водоносного горизонта), относительные проницаемости и вязкость. Множитель индекса уместен, только когда исходные данные согласованы, а различие объясняется именно призабойной зоной.

Жаңартылған: 7 октября 2026 г.